다변수 복소함수론은 정칙연장에 대한 Hartogs 현상의 발견 (1906년), 복소영역의 정칙동형에 관한 boundary invariant 가 존재할 것이라는 Poincare 의 문제제기 (1905년 경) 에 의하여 20세기 초부터 연구되기 시작한 분야이다.
학문의 벽두부터 1950년대까지 약 반세기 동안 다변수 복소함수론은 다음의 몇가지 문제를 중심으로 이론이 발전하고 방법론이 개발되었다.
1) homomorphic function 의 고유한 영역, 혹은 확장가능한 최대영역을 의미하는 정칙대역 (domain of holomorphy) 이란 개념을 기하적으로 이해 하고자 하는 Levi problem.
2) 주어진 영점을 갖는 정칙함수의 존재에 관한 Weierstrass 정리와 주어진 singular part를 갖는 meromorphic function 의 존재에 관한 Mittag-Leffler 정리의 일반화문제인 Cousin problem.
3) 복소영역의 경계면의 기하와 영역의 함수론과의 관계. 경계면의 기하적 불변량을 발견하는 문제.
이 시대의 이 분야를 대표하는 사람으로는 일본의 전설적인 수학자 K. Oka 와 유럽에서는 Elie Cartan 과 그의 아들 Henri Cartan, H. Grauert, R. Remmert, K. Stein 등이 있다.
1960년대와 70년대에는 과결정 연립일계선형편미방인 코시-리만 방정식의 연구가 주류를 이루어 유럽에서는 L. Hoermander, 미국에는 J. Kohn, E. Stein 등이 있는 프린스턴 대학이 중심역할을 하였다.
80년대 이후 오늘에 이르기까지 다변수 복소함수론은 수학의 다른 분야의 여러 방법론들을 사용하고 이들 분야에 새로운 접근방법과 문제를 제기하기도 하며 발전하였다. 오늘날 다변수 복소함수론은 수론, 대수기하, 조화해석학, 편미분방정식, 미분기하, 위상수학, 이론물리 등 순수 및 응용수학의 여러분야에 기본적인 언어와 방법론을 제공하고 있으며 세계의 유수한 수학과에서 대학원과정에 필수적인 교과목의 하나로 자리잡게 되었다.
2005학년도 가을학기에는 다변수 복소함수론의 가장 기본적인 개념들을 소개한 후 코시-리만 다양체의 기하를 공부하고자 한다. 강의할 내용은 다음과 같다.
Hartogs extension phenomena
Domains of holomorphy
Domain of convergence, Reinhardt comains
Pluri-subharmonicity and pseudo-convexity
Automorphism group for the ball
Cartan's method for the equivalence problems
Chern-Moser theory
본 강좌의 주안점은 앞으로 과결정연립편미분 방정식을 심도있게 공부하여 응용함을 목적으로 한다. CR 다양체위의 접 코시-리만 방정식은 non-integrable 과결정연립편미방의 전형이다.
1) L. Hoermander, Introduction to complex analysis in several variables
2) S. Krantz, Function theory of several complex variables
3) S. S. Chern and J. K. Moser, Real hypersurfaces in complex manifolds, Acta Math. 133 (1974), 219-271