미적분의 초기역사, 베르누이家,

로피탈 후작 (Guillaume de l'Hospital),

다니엘 베르누이: 유체역학의 뉴턴

vis viva (vis = power, viva = life, 살아있는 힘)

17세기 말 유럽의 수학계는 뉴턴과 라이프니츠 중 누가 미적분의 창시자인가 하는 논쟁으로 시끄러웠다.   라이프니츠의 논문은 1684년에 출간 되었다.  비범한 두뇌만이 이해할 수 있도록, 고의로 어렵게 쓴 듯한, 매우 난해한 논문이었다.

뉴턴의 논문은 그보다 3년 후인 1687년에 출간되었다.  원래 뉴턴은 발견한 사실을 즉각 출판하지 않는 습관이 있었다.  그가 미적분의 아이디어를 얻은 것은 출판하기  20여년 전인 1665년, 그가 22살 되던 해,  캠브리지 대학이 흑사병으로 인해 휴교령이 내려졌을 때  고향 울즈소프로 돌아와 지내던 때 이었다고 한다.

미적분을 누가 먼저 창안하였느냐 하는 싸움에서 라이프니츠 측의 선봉장은 요한 베르누이이었다.  요한과 그의 형 야곱은 수학과 과학의 여러 문제에 미적분을 광범위하게 적용한 최초의 사람들이었다.   17세기 말 - 18세기 초의  수학사,  또는 미적분의 초기역사에서 가장 중요한 역할을 한 베르누이 일가의 계보를 살펴보자:

요한 베르누이의 할아버지 Jakob 은 벨지움 태생으로 위그노 (Huguenot) 교도이었는데  종교의 자유를 찾아 1622년에 스위스의 Basel 로 이주하였다.  Huguenot의 정신적 지도자 John Calvin 도 고국인 프랑스를 버리고 이곳으로 이주한 바 있었다.  Jacob 은 외아들 Nikolaus를 두었다.  Nikolaus 는 많은 자식을 낳아 4명이 생존하였는데 그 중 두 아들 Jakob 과 Johann 은 유명한 수학자가 되었다.

Nikolaus 는 그의 아들 야곱은 신학자가, 다른 아들 요한 은 상인이 되기를 바랐으나 이 둘은 아비 몰래 수학을 공부하였다.  형 야곱 은 지극히 어려운 라이프니츠의 논문에 불굴의 의지로 3년 동안이나 달라붙어 드디어 라이프니츠의 수학을 모두 이해하고 말았다.  그리고 어린 동생에게 그가 이해한 바를 가르쳐 주었다.

“모든 사건은  ‘무한소‘ 에 의해 결정된다.  이들 무한소를 모두 더함으로 사건의 결과를 예측할 수 있는 것이다.  Calvin 의 예정설과도 일치하는 것이 아니냐,   이 새로운 수학은 신의 마음을 읽는 기법이다”

형 야곱 은 느리지만 뚝심있는 수학자이었고 동생 요한 은 재치 있는 수학의 신동이었다.  아비 Nikolaus 는 아들들이 자신의 말을 듣지 않고 수학을 공부하는 것을 알고는 지원금을 끊어 버렸다.  그러나 곧 야곱 은 바젤 대학의 수학교수직을 얻게 되었고 동생 요한 은 프랑스로 가서 미적분을 가르침으로 밥벌이를 할 수 있었다.  프랑스의 로피탈 후작은 요한에게 300파운드의 돈을 내 놓으며 그 대가로 요한이 발견한 사실들을 다른 사람에게 알리지 말고 자기에게만 알려 줄 것을 요구하였다.  돈이 궁했던 요한은 그 제의를 받아 들였다.  로피탈은 요한이 가르쳐 준 것을 자기이름으로 발표하기도 하고 나중에는 자신에게 미적분을 가르쳐 준 요한 베르누이에 대한 언급도 없이 자신의 이름으로  미적분 교과서를 출판하였는데 이 책이 유럽의 베스트셀라가 된 역사상 최초의 해석학 교과서이었다.  지금도 미적분 교과서에 로피탈의 정리라 나오는 정리는 이렇게 하여 그의 이름이 붙게 된 것이다.

프랑스에 체류하는 동안 요한은 미적분 발견자 논쟁에서 영국인 측을 악랄하게 공격하였다.  뉴턴이 요한 자신의 결과를 조금 바꾸어 출판했노라고  뻔뻔스럽게 뉴턴에 대하여 모독적인 말을 내뱉기도 하였다.   이 논쟁 덕분에  라이프니츠와 나란히 요한 베르누이의 이름이 거명되면서 요한은 유명한 사람이 되었고   형 Jacob 은 동생의 명성을 시기하게 되었다.  요한이 고향으로 돌아가기 위해 바젤 대학 교수직에 지원하였을 때 형 야곱의 방해로 교수직을 얻지 못하고 네델란드의 Groningen 대학교 수학 교수로 가게 되었다.

나중에 형 야곱이 죽자 동생 요한이 형의 바젤대학 수학교수자리를 계승하고 형이 쓰던 연구실을 쓰게 되었다.

야곱은 변분법을 연구한 최초의 사람이었으며 또한 integral 이란 말을 처음 사용하였다.   라이프니츠는 적분을 calculus summatorius 라 불렀으나 야곱은 calculus integralis 라 불렀던 것이다.  야곱과 요한의 조카  니콜라우스 I 도 당대의 수학자이었다.

요한의 아들 셋, Nikolaus II, Daniell, Johann II 도  수학자가 되었다.

요한은 한 세대 전의 역사를 되풀이 하여 아들 다니엘이 부유한 집안의 딸과 정혼하고 상인이 되기를 바랐으나  다니엘은 비밀히 수학을 공부하다가 나중에 아비 요한에게 이를 실토하자  아비 요한은 하는 수 없이 수학공부를 허락하는 대신 대학에서는 의학을 전공할 것을 명하였다.  다니엘은 의과대학을 다니며 형 니콜라우스 II 에게 간청하여 수학의 개인지도를 받았다.  다니엘은 그의 아비가 헐뜯기를 마지않는 뉴턴을 가슴깊이 존경하며 자신은 유체역학에 있어서 뉴턴과 같은 창시자가 되기를 갈망하였다.   아비 요한은 다니엘의 수학에 대한 열성을 꺾지 못하고 나중에는 친절하게 수학과 자연철학에 대해 자신이 알고 있던 것들을 가르쳐 주었다.

유체역학의 뉴턴

다니엘 베르누이가 그의 아비 요한에게서 배운 개념이 ‘에너지“ 개념이었다.  당시 에너지란 이름은 존재하지 않았다.  라이프니츠는 vis viva 라 불렀다. 그는 다양한 실험을 통해 한 물체의  vis viva 는 단지 질량과 속도에만 의존한다는 사실을 알고 있었다. 즉

vis viva = m x v

vis viva 는 일종의 연료라고 아비 요한은 아들 다니엘에게 가르쳤다.    공을 위로 던지면 vis viva 는 감소하면서 높이는 증가한다.  그러나

높이 + vis viva = 상수

가 되는 것이다.  한 물체의 vis viva 는 결코 없어지지 않고 다른 형태로,  이 경우에는 높이로 바뀔 뿐이며 높이는 다시 vis viva 로 바뀐다.  이것이 vis viva 보존법칙이다.

다니엘을 15세에 대학을 졸업하였다. 1년 뒤에 석사학위를 받고 바로 의학을 전공하게 되었다   의학을 공부하는 동안 영국의 의사 William Harvey 의 연구결과를 듣고는  자신도 혈액의 운동에 관해 연구하게 되었다.  수학과 유체의 운동에 몰두 할 수 있었던 것은 그에게 행운이었다.  유체의 운동에 대한 기본법칙은 뉴턴도 요한 베르누이도 발견하지 못했기 때문에 최선의 노력을 기울일 가치가 있는 당시의 과제이었다.

다니엘은 21세에 의과대학을 졸업하였다.

유체정역학 (hyrdostatics) 의 원리는 아르키메데스가 고대에 밝힌 바 있지만 흐르는 물에 대하여는 아무것도 말해주는 바가 없었다.   레오나르도 다 빈치 (1452-1519) 는 폭포 옆에서 풀씨를 던지며 물의 흐름을 관찰고 물이 흐르는 경로를 스케치 하였다.    강물은  넓은 부분 보다 좁은 부분에서 더 빨리 흐른다는 사실은 경험적으로 아는 바이지만  레오나르도 다 빈치는 깊이가 일정한 강물의 속도는  강폭에 반비례 한다는 사실과 공기도 물과 같은 원리로 흐르는 유체임을 발견하였다. 그는 유체의 운동의 원리를 이용하여 비행기를 고안하기도 하였다.    17세기 이후는 로마 가톨릭이 지배하는 이태리를 벗어나 보다 종교적으로 자유로운 알프스 북쪽에서 과학이 꽃피기 시작하였다.

당시 프랑스 과학원이 주최하는 학술경연 대회는 우승자에게 많은 상금과 명예를 안겨주는 가장 권위 있고 역사 깊은 학술행사이었다.  1723년의 프랑스 과학원 학술경연대회의 제목은  선박위에서 시간을 측정할 수 있는 흔들리지 않는 시계를 제작하는 문제이었는데 의과대학을 갓 졸업한 다니엘 베르누이는  수은이 담긴 통속에 쇳조각을 띄우고 그 위에 모래 시계를 올려놓는다는 아이디어를 내어 일등상을 수상하였다.   유명한 그의 아버지 요한도 아직 일등상을 받지 못하였다.   다니엘의 친구인 수학자 골드바흐가  이 논문을 책으로 출판하자고 제의하자  다니엘은 겸손하게 논문의 저자명을 “요한 베르누이의 아들 다니엘 ” 이라 하였다.   그의 아버지의 자존심을 건드리지 않으려는 의도도 있었던  것이다.

다니엘이 천재로 소문이 나자  러시아의 여제 에카테리나 I세 (Catherine I) 는 다니엘을 St. Peterburg 소재 러시아 과학원의 수학교수로 초빙하였다.   러시아 과학원은  여제의 죽은 남편 피오트르 대제 (Peter the Great)의 명에 따라 최근에 설립된 기관으로  여제는 유럽에서 가장 뛰어난 학자들을 불러 모으고 있는 중이었다.   다니엘은 그의 형 니콜라우스를  같이 채용해 달라는 조건으로 초빙을 수락,  형과 같이 1725년에 러시아로 가게 되었다.  그러나 형 니콜라우스는 추운 기후에 적응하지 못하고  폐결핵에 걸려 이듬해 세상을 떠나고 말았다.

형의 죽음이후에 다니엘은 외로움을 달래기 위해 아버지 요한의 뛰어난 제자인  Leonhard Euler를 초빙할 것을 여제에게 요청하여 수락을 받았다.  자부심이 대단한 요한 베르누이는  자기 자신과 라이프니츠 외에 이 세상의 꼭 한사람을 칭찬하였는데 그가 바로 오일러 이었다.  오일러는 Calvin 교 목사의 아들로 태어나  13세의 어린 나이에 바젤대학에 입학하여 요한 베르누이에게 개인 지도를 받은 천재 수학자이었다.

그즈음 (1727년) 뉴턴의 사망소식이 전해졌다.  아버지 요한은 그의 적이며 그가 추잡한 영국인들이라 욕하던 무리의 대표이기도 하였던  뉴턴이 죽자 허탈감에 사로잡혔다.  그 자신도 60세의 늙은 교수가 되어 있었다.   한편 다니엘은 유체의 압력과 속도에 관한 문제를 숙고하고 있던 중에 그가 가장 존경하고 감탄해 마지않던 뉴턴의 부음을 들었다.   뉴턴이 고체의 운동에 관한 세가지 운동법칙을 발견하였듯이 자신은 유체의 운동의 원리를 밝혀내려는 일념으로 더욱 연구에 몰두 하였다.

그 즈음 오일러가  St. Petersburg 에 도착하였다.   이 둘은 유체의 운동을 같이 연구하였다.   오일러는 독방에서 펜과 종이로 연구하기를 좋아하는  순수수학자 이었던 반면   다니엘 베르누이는 손을 적시며  유체실험을 하는 응용 수학자이었다.   다니엘은  파이프를 통과하여 흐르는 물의 압력을 측정하기 위하여 파이프에 작은 구멍을 뚫고  그 구멍에 가는 유리관을 연결하였다.  물기둥이 유리관을 따라 올라가다가 어떤 높이에서 멈추는가를 측정하여 유체의 압력을 측정할 수 있었다.   그는 이 원리를 이용하여  피를 흘리지 않고 혈압을 재는 기기를 발명하였는데 이 혈압계는  1896년 오늘날의 혈압계가 발명 될 때까지 사용되었다.

다니엘은  라이프니츠의 vis viva = m x v  라는 개념을 유체에 적용할 수 있을까 생각해 보았다.  그는   라이프니츠의 미적분의 방법대로  파이프 내부를 흐르는 물을  무한소의 원판으로 쪼개서 그 각각을 고체로 보고 뉴턴의 운동방정식을 적용하였다.  그리고는 무한히 얇은 물조각을 적분하여 유체의 운동을 계산한 결과  고체의 vis viva 와 완전히 일치하는 공식

vis viva =  x v

을 얻었다.   단지  충분히 이해할 수 있는 이유로 고체의 질량 m 대신에 유체의 밀도  가 대신  들어가 있는 차이 뿐이었다.     그리고 고체의 경우 vis viva 는 그 형태를 높이로 변화하였다가 다시 환원하는 것처럼 유체의 vis viva는 압력과 교환된다는 사실을 발견하였다.  그리하여

p +  x v = 상수

라는 공식을 얻었다.   후세에 다른 이론과 형식을 맞추기 위하여 상수 1/2을 추가하게 되어 오늘날 유체의 운동에 관한 베르누이의 원리는

p + 1/2  x v = 상수

로 표현된다.

이 방정식의  단순성과 시적인 간결성은 이것이 유체의 운동의 원리임에 의심할 수 없게 하고 있다.   “자연이 따르는 이렇게 간단한 규칙이 당시까지 알려지지 않은 채로 남아 있었다는 사실이 매우 놀라웠다” 고 후일 다니엘 베르누이는 술회하였다.

페테르부르그에 머무른 7년동안 수행한 유체역학의 연구로 다니엘은 일류 수학자의 반열에 오르게 되었다.   러시아 과학원 교수자리의 후임자로 오일러를 천거하고는 다니엘은 그가  원하던 바젤 대학교의 교수직을 얻어 1732년에 러시아를 떠나 7년만에 고향으로 돌아가게 되었다.   도중에 마차를 타고 파리 외곽을 지나는데  어느 식물학자가 동승하게 되었다.  식물학자가 그에게 이름을 묻자 “저는 다니엘 베르누이입니다” 고 대답하자 식물학자는 농담인줄 알고 “그럼 나는 아이작 뉴턴이오”   그러더라고.  그래서 그는 자신이 유명해 진 줄 알았다.

고향 바젤로 돌아간 다니엘은 열렬한 환영을 받았다.  아버지 요한도 아들 다니엘의 귀향을 기뻐하였다.   다니엘은 바젤대학에서 식물학과 해부학을 강의하였다.   아버지와 사이가 나빠진 것은   두해 후인  1734년, 프랑스 과학원의 학술 경연대회에 아버지 요한과 1등상을 공동수상한 일로부터 불거졌다.    아버지 요한은 어린 아들과  자신이 대등하게 취급받는 것을 용납할 수 없었고 다니엘도 유체역학에서 자신의 업적을 내세워 아버지보다 못할 것이 무엇이냐고 대들었던 것이다.   다니엘은  1738년 자신의 유체역학의 연구결과들을 모은 책을 Hydrodynamics 란 제목으로 출판하였다.   그는 울면서 또다시 저자 이름을  요한 베르누이의 아들 다니엘이라 썼다.

아버지 요한은 그 후 Hydraulics 란 이름으로 유체역학을 출판하면서 출판년도를 1732년이라 인쇄하여 유체역학의 원리는 자신이 먼저 밝힌 것처럼 보이도록 하였다.

아버지와 아들이 수학 논문가지고 이처럼 명예를 다툰 얘기는 우리로 하여금 쓴 웃음 짓게 한다.  수학적 재능과 인격은 같이 가지 않는 경우가 많다.  전혀 상관관계가 없는 것처럼 보이기도 한다.

베르누이 家系를 요약하면 다음과 같다:

Jakob (1654-1750)

Nikolaus I  (1687-1759)

Padova 대학 수학교수, Jakob과 Johann의 조카

Johann (1667-1748) - Nikolaus II (1695-1726)

- Daniell (1700-1782)

- Johann II (1710-1790)  -  Johann III

Jakob II

참고:

1)  Michael Guillen, Five equations that changed the world,  세상을 바꾼 다섯 개의 방정식,  서윤호, 허민 옮김

2)  http://www.fyma.ucl.ac.be/~gaino/Bernoulli/bernoullifamily.html

끝