`¹ÌÀûºÐÇÐ'Àº ¹ÌºÐÀûºÐÇÐ(Differential and Integral Calculus)À» ÁÙÀÎ ¸»ÀÌ´Ù.
¹ÌÀûºÐÇÐÀÇ ±âº» öÇÐÀº "ÇÔ¼ö¸¦ ¾Æ´Â °Í°ú ±× ÇÔ¼öÀÇ º¯ÈÀ²À» ¾Æ´Â °ÍÀº Å©°Ô ´Ù¸£Áö ¾Ê´Ù"´Â °ÍÀÌ´Ù.
¿ì¸®°¡ °üÂûÇÏ´Â °ÍÀº ÁÖ·Î "º¯È"Àε¥ ÀÌ°ÍÀ» ÀÌÇØÇϸé Àüü¸¦ ÀÌÇØÇÑ´Ù´Â °ÍÀÌ´Ù.
ÇÔ¼ö °¡¿îµ¥ °¡Àå °£´ÜÇÑ °ÍÀº »ó¼öÇÔ¼ö¶ó ÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù. »ó¼öÇÔ¼ö¶õ º¯ÇÏÁö ¾Ê´Â ÇÔ¼ö¸¦ ¶æÇÏ°í, ÇÑ Á¡¿¡¼ÀÇ ÇÔ¼ö °ªÀ» ¾Ë¸é, ´Ù¸¥ Á¡¿¡¼ÀÇ °ªµµ ¹Ù·Î ¾È´Ù. »ó¼öÇÔ¼öÀÇ º¯ÈÀ²ÀÌ ¿µÀÎ °ÍÀº ³Ê¹«³ª ´ç¿¬ÇÏ´Ù.
¹ÌÀûºÐÇÐÀº, °Å²Ù·Î, ¸ðµç ¼ø°£ÀÇ º¯ÈÀ²ÀÌ ¿µÀÎ ÇÔ¼ö´Â »ó¼öÇÔ¼ö¶ó´Â °ÍÀ» ¸»ÇÏ¿© ÁØ´Ù. (¾ö¹ÐÇϱâ À§ÇÏ¿©, ¸ðµç ÇÔ¼öÀÇ Á¤ÀÇ¿ªÀ» ½Ç¼öÀÇ ±¸°£À¸·Î ÇÑÁ¤ÇÑ´Ù.) ÇÔ¼öÀÇ ±×·¡ÇÁ¸¦ º¸¸é, °¢ Á¡¿¡¼ÀÇ ±â¿ï±â°¡ ¹Ù·Î º¯ÈÀ²Àε¥, ±â¿ï±â°¡ ¸ðµç Á¡¿¡¼ ¿µÀÌ´Ï ÇÔ¼öÀÇ ±×·¡ÇÁ´Â ¼öÆòÀ¸·Î ±×·ÁÁö°í, ±×°ÍÀÌ ¹Ù·Î »ó¼öÇÔ¼ö¶ó´Â ¶æÀÌ´Ù.
ÁÖ¾îÁø ÇÔ¼ö¿¡¼ °¢ ¼ø°£ÀÇ º¯ÈÀ²À» ÃøÁ¤ÇÑ °ÍÀ» ±× ÇÔ¼öÀÇ µµÇÔ¼ö(derivative)¶ó ÇÑ´Ù. (µµÇÔ¼ö¿¡ ´ëÇÏ¿© óÀ½ÀÇ ÇÔ¼ö¸¦ ¿ø½ÃÇÔ¼ö¶ó ÇÑ´Ù.) ¹ÌÀûºÐÇп¡¼ óÀ½À¸·Î ¸¸³ª´Â Áß¿äÇÑ Á¤¸®°¡ ¹Ù·Î
»ó¼öÇÔ¼ö = º¯ÈÀ²ÀÌ ¿µÀÎ ÇÔ¼ö = µµÇÔ¼ö°¡ ¿µÀÎ ÇÔ¼ö
ÀÌ´Ù.
Çϳªµµ ¾î·ÆÁö ¾Ê´Ù. ¿ì¸®°¡ ¾î·Á¿î °ÍÀ» Àß ÀÌÇØÇÏÁö ¸øÇÏ´Â ÀÌÀ¯´Â ÁÖ·Î ½¬¿î °ÍÀ» Àß ÀÌÇØÇÏÁö ¸øÇϱ⠶§¹®ÀÌ´Ù.
À§ Á¤¸®¿¡¼ ´ÙÀ½À» ¹Ù·Î ¾È´Ù.
`µÎ ÇÔ¼ö°¡ °°´Ù'´Â °Í°ú `µÎ ÇÔ¼ö°¡ ÇÑ Á¡¿¡¼ ÇÔ¼ö °ªÀÌ °°°í, µÎ ÇÔ¼öÀÇ µµÇÔ¼ö°¡ °°´Ù'´Â °ÍÀº µ¿Ä¡ÀÌ´Ù.
¿Ö³ÄÇϸé, f'(x) ¡Õ g'(x) À̸é (f-g)'(x) ¡Õ 0 ÀÌ°í, µû¶ó¼ f-g ´Â »ó¼öÇÔ¼öÀÌ´Ù. ÇÑÆí, »ó¼öÇÔ¼ö´Â ÇÑ Á¡¿¡¼ÀÇ °ªÀ¸·Î °áÁ¤µÇ´Âµ¥, f ¿Í g °¡ ÇÑ Á¡¿¡¼ °ªÀÌ °°À¸¹Ç·Î, f-g ´Â Ç×µîÀûÀ¸·Î ¿µÀÎ ÇÔ¼öÀÌ´Ù. ±×·¯¹Ç·Î f(x) ¡Õ g(x) ÀÌ´Ù. ...
¹ÌºÐ¹ý¿¡¼ »ç¿ëµÇ´Â ÁÖ¿äÇÑ °ø½Ä °¡¿îµ¥ Çϳª°¡ `¶óÀÌÇÁ´ÏÃ÷ÀÇ ¹ýÄ¢' ¶Ç´Â `°öÀÇ ¹ÌºÐ¹ý'À̶ó°í ºÎ¸£´Â °ø½ÄÀÌ Àִµ¥ ÀÌ°ÍÀº ´ÙÀ½À» ¶æÇÑ´Ù.
(fg)'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)
ÀÌ °ø½ÄÀº °¡·Î°¡ f(x), ¼¼·Î°¡ g(x) ÀÎ Á÷»ç°¢Çü¿¡¼ °¡·Î¸¦ ¥Äf ¸¸Å ´ÃÀÌ°í, ¼¼·Î¸¦ ¥Äg ¸¸Å ´ÃÀÌ´Â °æ¿ì¿¡ ´Ã¾î³ ³ÐÀÌ°¡ ¾ó¸¶Àΰ¡¸¦ »ìÆ캸¾Æ À¯µµÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù. Á÷»ç°¢ÇüÀÇ ´Ã¾î³ ³ÐÀÌ´Â (¥Äf)¡¤g + f¡¤(¥Äg) + (¥Äf)¡¤(¥Äg) ÀÌ´Ù. ÀÌ °ªÀ» ÃøÁ¤ÇÏ´Â ±¸°£ÀÇ ³ªºñ ¥Äx ·Î ³ª´©¾î, ±ØÇÑÀ» »ìÆ캸¸é, À§ÀÇ °ø½ÄÀÌ ³ª¿Â´Ù.
¶óÀÌÇÁ´ÏÃ÷ÀÇ °ø½Ä¿¡¼ ´ÙÇ×ÇÔ¼öÀÇ ¹ÌºÐ¹ýÀ» ¹Ù·Î ¾ò´Â´Ù.
x' = 1
(x2)' = x'x + xx' = 2x
(x3)' = (x2)'x + x2x' = (2x) x + x2 = 3x2 , ...
(xn)' = n xn-1
(f g h)'(x) = f'(x) g(x) h(x) + f(x) g'(x) h(x) + f(x) g(x) h'(x)
¸¦ À¯µµÇ϶ó.
º¯ÈÀ²ÀÌ ¿µÀÎ Á¡À» ÀÓ°èÁ¡À̶ó ÇÑ´Ù. »êÀÇ Á¤»ó¿¡ ¿Ã¶ó°¡ º¸¸é ÆòÆòÇÑ °Íó·³, ÇÔ¼öÀÇ ÃÖ´ëÁ¡¿¡¼´Â ±× º¯ÈÀ²ÀÌ ¿µÀÌ´Ù.
¹ÌºÐ°¡´ÉÇÑ ÇÔ¼öÀÇ ±Ø´ëÁ¡À̳ª ±Ø¼ÒÁ¡Àº ÀÓ°èÁ¡ÀÌ´Ù.
´Ù½Ã ¸»Çϸé, ÃÖ´ë°ªÀ̳ª ÃÖ¼Ò°ªÀ» ±¸Çϱâ À§Çؼ´Â ÀÓ°èÁ¡À» ãÀ¸¸é µÈ´Ù.
¡¡
Áõ°¡ÇÔ¼öÀ̰ųª ¶Ç´Â °¨¼ÒÇÔ¼öÀÎ ÇÔ¼ö¸¦ ´ÜÁ¶ÇÔ¼ö¶ó ÇÑ´Ù.
µµÇÔ¼ö°¡ ¾çÀÎ ÇÔ¼ö´Â Áõ°¡ÇÔ¼öÀÌ°í, µµÇÔ¼ö°¡ À½ÀÎ ÇÔ¼ö´Â °¨¼ÒÇÔ¼öÀÌ´Ù.
¡¡
df(g(x))/dx = f'(g(x)) g'(x)
¡¡
sin' x = cos x, cos' x = - sin x
¿øÁÖ À§ÀÇ Á¡ A :=(cos x, sin x) ÀÇ º¯ÈÀ²À» ÃøÁ¤ÇÏ¿©¾ß ÇÑ´Ù.
±×¸²¿¡¼ B = ( cos(x+¥Äx), sin(x+¥Äx)) ÀÌ°í, B ¸¦ ¹ÝÁö¸§ OA ¿¡ ³»¸° ¼ö¼±ÀÇ ¹ßÀ» C ¶óÇÏ°í, A ¿¡¼ Á¢¼±°ú ¹ÝÁö¸§ OB ÀÇ ¿¬Àå¼±°úÀÇ ±³Á¡ÀÌ D ÀÌ´Ù. ±×·¯¸é
BC < AB < È£AB = ¥Äx < AD
ÀÌ´Ù (¸¶Áö¸· ºÎµî½ÄÀº ºÎä²Ã OAB ¿Í »ï°¢Çü OAD ÀÇ ³ÐÀ̸¦ ºñ±³ÇÏ¿© ¾ò´Â´Ù). µû¶ó¼
cos(¥Äx) = BC/AD < AB/¥Äx < 1
ÀÌ´Ù. ±×·¯¹Ç·Î Çù°øÀÇ ¿ø¸®¿¡¼
lim¥Äx¡æ0 AB/¥Äx = 1
ÀÌ´Ù. ±×¸²¿¡¼ d(cos x, sin x)/dx °¡ (-sin x, cos x) ¿¡ ºñ·ÊÇÑ´Ù´Â °ÍÀ» ¾Ë ¼ö ÀÖ´Ù. ÀÌÁ¦ ±× ºñ·Ê »ó¼ö°¡ 1 À̹ǷÎ,
d(cos x, sin x)/dx = (-sin x, cos x)
¸¦ ¾ò´Â´Ù. ÀÌ°ÍÀÌ ¹Ù·Î ¿øÇÏ´Â ¹ÙÀÌ´Ù.
¡¡
¿øÀ» 360¢ª¶ó ÇÏ°í, ÇϷ縦 1¢ª¶ó ÇÑ´Ù¸é, 1¢ª¸¦ ÀÛµµÇÏ°í ½Í¾îÇÏ´Â °ÍÀº ´ç¿¬ÇÑ ÀÏÀÌ´Ù. º°ÀÚ¸® Áöµµ¸¦ ¸¸µé°í, ¹Ù¶÷ºÎ´Â ¹æÇâµµ Á¤ÇÏ°í, ½Ã°èµµ ¸¸µé¾î¾ß Çϴϱî.
180¢ª, 90¢ª, 45¢ª µîÀº ´©±¸³ª ÀÛµµÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù. °¢À» À̵îºÐ ÇÏ´Â ÀÏÀº À§´ëÇÑ À¯Å¬¸®µåÀÇ ¿ø·Ð¿¡ Àß ¼Ò°³µÇ¾î ÀÖ´Ù. Á¤»ï°¢ÇüÀ» ÀÛµµÇÒ ¼ö ÀÖÀ¸´Ï 60¢ª¸¦ ÀÛµµÇÏ´Â °Íµµ ½±°í, µû¶ó¼ 30¢ª³ª 15¢ª (= 360¢ª/24)ÀÇ ÀÛµµµµ ½¬¿î ÀÏÀÌ´Ù. Áï, ÇѹÙÄû(360¢ª)¸¦ 24·Î µîºÐÇÏ´Â °ÍÀº ½¬¿î ÀÏÀÌ´Ù.
Ȳ±Ýºñ¸¦ ÀÛµµÇÒ ¼ö ÀÖ°í, Á¤¿À°¢ÇüÀ» ÀÛµµÇÒ ¼ö ÀÖÀ¸´Ï, 72¢ª¸¦ ÀÛµµÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù. ±×·¯¹Ç·Î 36¢ª, 18¢ª, 9¢ª µîÀ» ÀÛµµ ÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù. ÇÑÆí 15¢ª - 9¢ª = 6¢ª ¸¦ ÀÛµµÇÒ ¼ö ÀÖÀ¸´Ï, 3¢ª¸¦ ÀÛµµ ÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù.
ÀÌÁ¦, °¢À» »ïµîºÐ ÇÒ ¼ö¸¸ ÀÖ´Ù¸é, 1¢ª ¸¦ ÀÛµµÇÒ ¼ö ÀÖÀ» ÅÍÀε¥...
´ë¼öÀûÀ¸·Î´Â, °¢À» À̵îºÐÇÏ´Â °ÍÀº ÀÌÂ÷¹æÁ¤½ÄÀ» Ǫ´Â °Í°ú ¸¶Âù°¡ÁöÀÌ°í, °¢À» »ïµîºÐ ÇÏ´Â °ÍÀº »ïÂ÷¹æÁ¤½ÄÀ» Ǫ´Â °Í°ú ¸¶Âù°¡ÁöÀÌ´Ù. ±×·±µ¥, ÀÚ´Â Á÷¼±À» ±×¸®°í, µû¶ó¼ ÀÏÂ÷½Ä¿¡ ÇØ´çµÇ°í, ÄÞÆĽº´Â ¿øÀ» ±×¸®´Ï ÀÌÂ÷½Ä¿¡ ÇØ´çµÈ´Ù. ¶Ç ¿ø°ú ¿øÀÇ ±³Á¡Àº »çÂ÷½Ä¿¡ ÇØ´çµÈ´Ù. ±×·¯¹Ç·Î ÀÚ¿Í ÄÄÆĽº°¡ Ç® ¼ö ÀÖ´Â ¹®Á¦´Â ÀÏÂ÷½Ä, ÀÌÂ÷½Ä, »çÂ÷½Ä, ÆÈÂ÷½Ä µîÀÇ ¹æÁ¤½ÄÀÌÁö¸¸, »ïÂ÷½ÄÀº Ç® ¼ö ¾ø´Ù. ÀÌ·¯ÇÑ ÀÌÀ¯·Î ÀÚ¿Í ÄÄÆĽº¸¸À¸·Î ÀϹݰ¢À» »ïµîºÐÇÏ´Â °ÍÀº ºÒ°¡´ÉÇÏ´Ù.
ÇÏÁö¸¸ ¹ÌÀûºÐÇÐÀº
sin(x)
= x - x3/3! + x5/5! - x7/7! + ... =: S(x)
cos(x) = 1 - x2/2! + x4/4! - x6/6! + ... =: C(x)
ÀÓÀ» ¸»ÇØÁÖ°í, µû¶ó¼ sin 1¢ª ¶Ç´Â cos 1¢ª µîÀÇ °ªÀ» ¾ÆÁÖ ¾ö¹ÐÇÏ°Ô ÃøÁ¤ÇÏ¿© ÁØ´Ù.
ÀÌÁ¦ ¿Ö À§¿Í °°Àº µî½ÄÀÌ ¼º¸³ÇÏ´ÂÁö »ìÆ캻´Ù.
¸ÕÀú S'(x) = C(x), C'(x) = - S(x) ÀÓÀ» ¾È´Ù.
¿ì¸®°¡ º¸ÀÌ°íÀÚ ÇÏ´Â °ÍÀº
(sin(x) - S(x))2 + (cos(x)-C(x))2
ÀÌ Ç×µîÀûÀ¸·Î ¿µÀ̶ó´Â °ÍÀ» º¸ÀÌ´Â °Í°ú ¸¶Âù°¡ÁöÀÌ´Ù. ±×·±µ¥ ÀÌ ÇÔ¼ö´Â ÇÑ Á¡ (x=0) ¿¡¼ ¿µÀÌ°í, µû¶ó¼ µµÇÔ¼ö°¡ ¿µÀ̶ó´Â °ÍÀ» Áõ¸íÇÏ¸é µÈ´Ù. ÇÑÆí µµÇÔ¼ö´Â
2 (sin(x) - S(x))(cos(x)-C(x)) + 2(cos(x)-C(x))(-sin(x) + S(x)) = 0
ÀÌ´Ù. À̷μ ¿øÇÏ´Â °ÍÀ» ¾ò´Â´Ù.
À̾߱⠳ª¿Â ±è¿¡ ÀηùÅë°èÇÐÀÚÀÎ A. Lotka ¿Í ¼ö¸®¹°¸®ÇÐÀÚÀÎ V. Volterra °¡ 1920³â´ë¿¡ ¿¬±¸ÇÑ ¹ÌºÐ¹æÁ¤½ÄÀÌ ¾î¶»°Ô ¸ÔÀÌ-Æ÷½ÄÀÚ ¸ðÇüÀ» ¼³¸íÇÏ´ÂÁö »ìÆ캻´Ù.
³ÐÀº ¼¶¿¡ Åä³¢¿Í ¿©¿ì°¡ »ì°í ÀÖ´Ù°í ÇÏÀÚ. Ç®ÀÌ ¸¹°í ³ÐÀº ¼¶À̶ó Åä³¢´Â ¹ø½ÄÇÏ´Â µ¥ ¾Æ¹«·± ÁöÀåÀÌ ¾ø°í, µû¶ó¼, ¿©¿ì°¡ ¾ø´Ù¸é, Åä³¢ÀÇ ¸¶¸®¼öÀÇ ¸Å´Þ Áõ°¡À² x' Àº ÇöÀçÀÇ ¸¶¸®¼ö x ¿¡ ºñ·ÊÇÑ´Ù. ÇÏÁö¸¸ Åä³¢ÀÇ Áõ°¡À²Àº Åä³¢°¡ ¿©¿ì¿¡ ¸ÔÈú ¶§ ¸¶´Ù ÁÙ¾îµç´Ù. ¿©¿ìÀÇ ¸¶¸®¼ö¸¦ y ¶ó ÇÑ´Ù¸é, ÀÌ·¯ÇÑ Çؼ®Àº ¹ÌºÐ¹æÁ¤½Ä
x' = a x - b x y
·Î Ç¥ÇöµÈ´Ù. ÇÑÆí, ¿©¿ìÀÇ ¸Å´Þ Áõ°¡À²Àº Åä³¢¸¦ ÀÚÁÖ ¸¸³ª¸é ´Ã¾î³ªÁö¸¸, Åä³¢°¡ ¾øÀ» ¶§¿¡´Â ÀÚ¿¬ °¨¼ÒÇÑ´Ù. µû¶ó¼ ÀÌ·¯ÇÑ Çؼ®Àº
y' = c x y - d y
·Î Ç¥ÇöµÈ´Ù.
ÀÌÁ¦ Åä³¢¿Í ¿©¿ìÀÇ ¸¶¸®¼ö¸¦ Æò¸éÀÇ Á¡ (x,y) ·Î ³ªÅ¸³½´Ù¸é,
´ÙÀ½°ú °°Àº ±×¸²ÀÌ ³ª¿Â´Ù.
Åä³¢ÀÇ ¸¶¸®¼ö°¡ ÃÖ´ë(¶Ç´Â ÃÖ¼Ò)ÀÎ Á¡¿¡¼´Â x'=0 ÀÌ°í, µû¶ó¼ y = a/b ÀÓÀ» ¾È´Ù.
¶Ç ¿©¿ìÀÇ ¸¶¸®¼ö°¡ ÃÖ´ë(¶Ç´Â ÃÖ¼Ò)ÀÎ Á¡¿¡¼´Â y'=0 ÀÌ°í, µû¶ó¼ x = d/c ÀÌ´Ù.
¶Ç, x < d/c À̸é y ´Â °¨¼ÒÇÏ°í, x > d/c À̸é y ´Â Áõ°¡ÇÑ´Ù.
¸¶Âù°¡Áö·Î, y < a/b À̸é x ´Â Áõ°¡ÇÏ°í, y > a/b À̸é x ´Â °¨¼ÒÇÑ´Ù.
¡¡
º¸±â¸¦ µé¾î
a = 0.1, b = 0.005, c = 0.00004, d = 0.04
À̸é
d/c = 1000, a/b = 20
ÀÌ´Ù. ±×·¯¹Ç·Î ÇöÀçÀÇ ¸¶¸®¼ö°¡
x0 = 2000, y0 = 10
À̶ó¸é Åä³¢ÀÇ ¼ö´Â ÀÏÁ¤±â°£ µ¿¾È Áõ°¡ÇÏ°í, À̶§ ¿©¿ìÀÇ ¼öµµ °°ÀÌ Áõ°¡ÇÑ´Ù.
¡¡
¸¸¾à óÀ½ÀÇ Åä³¢¼ö¿Í ¿©¿ì¼ö°¡ °¢°¢ 1000, 20 À̸é, ÀÌ·¯ÇÑ »óÅ´ ¾ÕÀ¸·Îµµ °è¼ÓµÇ¾î ÆòÇü»óÅ°¡ À¯ÁöµÈ´Ù.
¡¡
À§¿Í °°Àº ¸ðÇü¿¡¼´Â Á¦ÀÏÀûºÐ(¶Ç´Â ¿¡³ÊÁö)À̶ó ºÎ¸£´Â ¾çÀÌ º¸Á¸µÈ´Ù. ÀÌ °æ¿ì¿¡ Á¦ÀÏÀûºÐÀº
E = a ln y - b y + d ln x - c x
ÀÌ´Ù. Á¦ÀÏÀûºÐÀÌ º¸Á¸µÈ´Ù´Â °ÍÀ» Áõ¸íÇϱâ À§Çؼ´Â
E'(t) ¡Õ 0
À» º¸ÀÌ¸é µÈ´Ù.
¡¡
¿¡³ÊÁö º¸Á¸¹ýÄ¢Àº Lotka-Volterra ¸ðÇüÀÌ ÁÖ±âÀûÀÎ Çö»óÀÓÀ» ¼³¸íÇÑ´Ù.
Lotka-Volterra ÀÇ ¸ðÇüÀº ¿©·¯ °¡Áö ¹æ¹ýÀ¸·Î ÀϹÝÈ ÇÒ ¼ö ÀÖ°í, ±×·¯ÇÑ ÀϹÝÈ´Â ¹ÚÅ׸®¾ÆÀÇ ¹ø½ÄÀ̳ª, ÀÎü¿¡¼ ¸é¿ª ±â´ÉÀÌ »ý±â°í, ¿¡ÀÌÁî°¡ ¹ßº´ÇÏ´Â °ÍµéÀ» ¼³¸íÇÏ´Â µ¥ ¾²ÀδÙ. ³ª¾Æ°¡¼ µ¿½Ä¹°µé¿¡ ¹«´Ì°¡ »ý±â°í, ¸á¶ó´Ñ »ö¼Ò°¡ ÇǺο¡ Á¡Á¡ÀÌ ¹ÚÈ÷´Â °ÍÀ» ¼³¸íÇϱ⵵ ÇÑ´Ù.
Àϱ⿹º¸¸¦ ÇÒ ¶§¿¡´Â Á¶±Ý ´õ º¹ÀâÇÑ ¹ÌºÐ¹æÁ¤½ÄÀ» »ç¿ëÇÑ´Ù.