로그 함수 (Logarithmic functions)

로그함수란 곱하기를 더하기로 바꾸는 연속함수를 뜻한다:

(*)        L(a b) = L(a) + L(b)                    (a, b > 0).

함수값이 항등적으로 영인 함수는 흥미가 없으므로, 앞으로 로그함수는 항등적으로 영인 함수가 아니라고 가정한다.

위 성질 (*)에서 

• a = 1, b = 1 로 두면,  L(1) = 0  이다.
• b = 1/a  로 두면,  L(1/a) = - L(a)  이다.
• b = a 로 두면 L(a²) = 2 L(a)  이고, 일반적으로 임의의 유리수 r 에 대하여 L(a^r) = r L(a) 이다. 이 등식은, 로그함수의 연속성에 의하여, 임의의 실수 r 에 대하여 성립한다.
• 로그함수는 그 치역이 실수 전체로 이루어진 구간이다. 
• 로그함수의 영이 아닌 상수배도 로그함수이다.

로그함수의 기저

로그함수 L(x) 는, 중간값 정리 덕분에, 1 을 반드시 함수값으로 가진다.  만약 L(b) = 1 이면, b 를  L 의 기저(또는 밑수)라고 부른다.  (앞으로 로그함수의 미분법을 알고 나면

    L'(x) = L(e)/x

를 얻고, 따라서 로그함수는 순 단조함수(순 증가 함수이거나 또는 순 감소함수)이고, 특히 일대일 함수이다,  따라서 로그함수의 기저는 오직 하나이다.)  

L(1)=0 이므로 1 은 로그함수의 기저가 될 수 없다.  

앞으로 로그함수는 기저에 의하여 오직 한가지로 정해진다는 것을 본다. 기저가 b 인 로그함수를 

        log_b (x) 

로 쓰기로 한다.

보기를 들면

        log₂ (2)  = 1,  log₂ (4)  = 2,  log₂ (8)  = 3,  log₂ (16)  = 4, ...

등이다.   기저가 2 인 경우에는 2진법을 사용하는 것이 좋을 것 같고, 그러면 위 식은 

        log₂ (10₂)  = 1,  log₂ (100₂)  = 2,  log₂ (1000₂)  = 3,  log₂ (10000₂)  = 4, ...

이다. 즉, 어떤 수를 표현 하는데 드는 비트(bit, binary digit)의 개수를 영부터 센 것이 바로  log₂  의 값이다. 

    log₂  3 = log₂ 2(3/2) = 1 + log₂ (3/2) = 1 + 1/2 log₂ (3/2)² = 1 + 1/2 log₂ (2 (3²/2³))  = 1 + 1/2 + 1/2 log₂ (3²/2³) = ...

이다.

자연로그함수

함수 1/x 의 그래프와 직선 x = 1, x = t 및 x 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 

        ln(t) 

라고 부르기로 한다.  이 함수는 ln(1) = 0 이고, 연속함수이며, 미분적분학의 기본정리에 의하여 

        ln'(x) = 1/x

이다.  이제 

 (**)       ln (a b) = ln(a) + ln(b)

임을 증명한다.  

이것을 위하여 b 는 고정하고 a 를 변수로 본다.  이때 a=1 로 두면 등식이 성립한다. 

한편, 오른쪽 항의 미분은 1/a 이고, 이것은 왼쪽 항의 미분  b/(ab) = 1/a   와 항등적으로 같다.  따라서 등식 (**) 가 성립한다.

따라서 ln(x) 는 로그함수이고, 이것을 앞으로 자연로그함수(ln = natural logarithm)라 부르기로 한다.  자연로그함수는 순증가 함수이다.

1/x 의 그래프를 보면

    1/2  < ln(2) < 1 

을 알고 따라서  1< 2 ln(2) = ln(4) < 2 를 안다.  그러므로 자연로그의 기저 e 는

        2 < e < 4

이다.  이 기저를 자연상수라고 부르기로 한다.

자연상수

1 = ln'(1) = lim_h→0 ln(1+h) / h 에서

    e = lim_n→∞ (1 + 1/n)ⁿ = 2.7182818284...

을 얻는다.

일반 로그함수의 도함수

일반 로그함수 L(x) 에 대하여

        L'(x) = lim_h→0  (L(x + h) -L(x))/h = lim_h→0  L(1 + h/x) / h   = L( lim_h→0  (1+h/x)^1/h ) = L(e^1/x) = L(e)/x

이다.

따라서 항등식

        L(x) =  L(e) ln(x)          ( x > 0 )

을 미분법을 이용하여 증명할 수 있다. 즉, 일반로그함수는 자연로그함수의 상수배이다. 또, 기저가 b 이면

        1 = L(e) ln(b)

이다. 다시 말하면, 기저가 b 인 로그함수는

        L(x) = ln(x) / ln(b)

이다.

정리하면, 1 이 아닌 임의의 양수 b 를 기저로 가지는 로그함수는 오직 한가지 존재하고, 이 함수는

        log_b (x)  := ln(x) / ln(b) 

이다.

2002.5.2