두 점 P1, P2 에 대하여 선분 P1P2 의 점 가운데 이들로부터 같은 거리에 있는 점 C를 P1, P2 의 기하학적 중심(centroid) 또는 간단히 중심이라고 부른다.
중심 C를 벡터를 사용하여 표현하면, 방정식
를 만족시키는 점이고, 좌표계를 사용하면
와 같이 표현할 수 있다. (물론 이러한 표현은 좌표계의 선택과 상관없이 일정한 점을 서술한다. 여기에서 좌표계란 데카르트 좌표계를 포함하는 일반적인 아핀 좌표계를 뜻한다. 아핀좌표계는 직교좌표계일 필요가 없고, 서로 다른 축의 기본 단위도 같을 필요가 없는 좌표계이다.)
만약 점이 여러개 있어, 이들이 P1, P2 , ... , Pn 이면, 이들의 중심 C 는 벡터를 이용하여
를 만족시키는 점으로 정의하여도 되고, 또는 좌표계를 이용하여
와 같이 정의하여도 된다.
n=3 인 경우의 중심
유클리드 공간의 한 점 P 에 그 점의 가치(value)를 평가하여 m 이라 하자.
(여기에서 가치란 실수값을 뜻하지만, 어떤 이에게는 중력(重力)을 뜻하기도 하고, 다른 이에게는 색깔, 냄새, 온도 등 여러 가지 다른 의미를 부여할 수 있다. 앞으로 가치를 질량이라고 부르기도 한다.)
이와 같이 가치가 부여된 점을 질점이라 부르기로 한다. 다시 말하면, 질점이란 점과 실수의 한 쌍 (P, m) 을 뜻한다.
별도의 언급이 없으면 공간의 점들 각각은 가치가 1 인 질점으로 생각한다.
질점으로서 점 P1 과 점 P2 의 중심 C 는 그 가치가 1+1 = 2 인 질점으로 평가한다.
일반적으로 P1 의 질량이 m1 이고, P2 의 질량이 m2 이면 이들의 질량 중심은, 질량이 m1 + m2 이고 위치는 선분 P1P2 를 1/m1 : 1/m2 로 내분하는 점 C 인 질점을 뜻한다. 이 점을 벡터를 사용하여 표현하면
이고, 좌표계를 사용하여 표현하면
이다. 질량중심은 m1 + m2 이 0 이 아닌 경우에만 정의된다.
일반적으로, 질점 (P1 , m1), ... , (Pn , mn) 의 총질량 m = m1 + m2 + ... + mn 이 0 이 아니면, 그들의 질량 중심은, 질량이 m 인 질점으로, 위치 C 는 벡터를 사용하여 표현하면
이고, 좌표계를 사용하면
이다.
질점들의 각 질량이 모두 같으면, 그들의 질량 중심은 기하학적 중심과 일치한다.
정리: 유한 개의 질점 (P1, m1), (P2, m2), ... 의 질량중심이 (C, m) 이고, 또 유한 개의 질점 (P1', m1'), (P2', m2'), ... 의 질량중심이 (C', m') 이라 하자. 이때 합집합 (P1, m1), (P2, m2), ... , (P1', m1'), (P2', m2'), ... 의 질량중심은 두 질점 (C,m), (C', m') 의 질량중심과 같다. |
연습문제: 다음 점들의 기하학적 중심을 작도하라. 또 각 점들의 질량이 1,2,3,4 일 때 질량중심을 작도하라.
정리: 유클리드 공간에서 질점들의 질량중심은 아핀변환에 대하여 변하지 않는다. |
점들의 중심을 이해하고 나면,
곡선의 중심, 곡면의 중심, 입체의 중심
등도 이해할 수 있다.