정리 1. 함수 f(x) 가 적분가능한 주기함수라 하자. 이때 T 가 f(x) 의 주기이면
(1) 임의의 실수 a,b 에 대하여 
이다.
(2) 함수 
는 상수함수이다.
실수체에서 정의된 실가(實價, real valued) 함수 f(x) 가 주기함수라는 것은 모든 x 에 대하여
f(x + T) = f(x)
인 양수 T 가 존재한다는 뜻이다. 이때 T 를 (넓은 의미의) 주기(period)라고 한다.
좁은 의미의 주기는 위 성질이 있는 양수 T 의 하한값(infimum, 최대하계, greatest lower bound)을 뜻한다. 주기가 영인 주기함수는 상수함수이다.
이 글에서는 주기라는 용어를 넓은 의미로 사용하기로 한다.
주기함수의 대표적인 것이 sin x, cos x 등과 같은 삼각함수들이다.
정리 1. 함수 f(x) 가 적분가능한 주기함수라 하자. 이때 T 가 f(x) 의 주기이면 (1) 임의의 실수 a,b 에 대하여 (2) 함수 |
증명: (1) 정적분의 정의를 사용하면 바로 얻는다. 만약 f(x) 가 연속함수이면, 등식의 양변을 각각 b 에 대한 변수로 생각하고, 이 변수에 대하여 미분하면, 미적분학의 기본정리에서 f(b) 와 f(b+T) = f(b) 를 얻는다. 그리고 b = a 일 때 양변의 적분값이 일치하므로, 두 적분값이 모든 b 에 대하여 같다.
(2) 이 경우에도 f(x) 가 연속함수이면 증명이 쉽다. 함수 F(a)를 미분하면 F'(a) = f(a+T) - f(a) = 0 이고, 따라서 F(a) 는 상수함수이다. 일반적인 경우는 다음과 같이 증명한다. 우선 n T≤ a < (n+1) T를 만족시키는 정수 n을 잡는다. 그러면 (1)을 이용하여
임을 안다. 그러므로 F(a) 는 상수함수이다. 증명끝.
따름정리 2. 임의의 자연수 n 에 대하여
이다. 즉, 사인함수나 코사인함수의 제곱평균(mean square)은 1/2 이다. |
증명. 삼각함수의 가법정리를 알면 구할 수 있다. 그러나 여기서는 다른 방법으로 보이고자 한다. 함수 f(x) = cos2 nx 는 주기가 2π 의 약수이고, 따라서 이 함수를 적분한 것이나 f(x + π/2n) = cos2(nx + π/2) = sin2 nx를 적분한 것이나 그 값이 마찬가지이다. 한편 이 마찬가지 값을 서로 더하면 1을 적분한 값인 2π 가 되므로, 구하는 답은 π 이다. 증명끝.
정리 3. 만약 함수 f(x), g(x) 가 주기가 T 인 일급미분가능한 주기함수이면
이다. 특히
이다. |
증명: 함수 f(x) 와 g(x) 의 곱 f(x)g(x) 도 여전히 주기가 T 인 일급미분가능한 함수이다. 그러므로 미적분학의 기본정리(fundamental theorem of Calculus)와 Leibniz 법칙(곱의 미분법)에서
를 얻는다. 따라서 원하는 등식이 보여진다. 증명끝.
Kronecker 의 델타함수는 다음과 같이 정의한다:
.
정리 4. 정수 n, m 에 대하여
이다. |
증명: 이 정리의 증명은 삼각함수의 가법정리를 이용하여 증명할 수 있지만, 여기서는 부분적분법(Integration by parts)을 이용하여 증명한다.
우선 미분방정식
을 만족시키는 함수 f(x) 와 g(x)를 생각하자. 예를 들면 cos nx 나 sin nx 등이 f(x) 의 보기이고, cos mx 나 sin mx 등은 g(x) 의 보기이다. 이들은 모두 주기가 2π인 함수들이다. 따라서 정리 3 덕분에
을 얻는다. 그러므로 만약 n 과 m 이 다르면 이 값들이 0 임을 안다.
이제 n = m 인 경우를 증명하면 된다. 처음 두 식은 따름정리 2에서 바로 안다. 마지막 식은 정리 3에서 얻는다.
사실 마지막 식의 적분은 적분구간을 -π에서 π 로 바꾸어도 마찬가지이고, 그 구간에서 기함수(홀함수) cos nx sin mx를 적분하면 0 인 것은 당연하다.
증명끝.
