Q061219
Subject: Re: FW: RE: 안녕하세요 XX학부 06학번 학생입니다
김홍종 교수님 벌써 2학기도 마무리되어가고 있네요- 전에 주신 메일은 잘 보았습니다
대부분 강의들이 종강한 상태라 교수님께서 메일을 보실지는 모르겠지만- 시험도 끝나고 드디어 여유가 생겨 이렇게 마지막으로 몇 가지 질문을 보냅니다. (저같은 불량학생은 아마도 방학 중에는 책을 들여다보진 않을 것 같네요)
미적분학1에서- 여러 가지 사소한 질문 중에 한가지를 종이에 써보았는데요-
p.105의 주석에 관한 질문입니다- 주석중간에 ' "C≠0 또는 D≠0"이라는 가정... ' 이라는 부분이 있는데 여기서 왜 '그리고'가 아니고 '또는'인지 잘 이해가 되질 않아서- 그것에 관하여 몇 가지 생각을 적어보았거든요- 자세한 것은 첨부된 그림을 봐 주세요-
감기 조심하시고 새해 복 많이 받으세요!
A061219
최군! A:B = C:D 이고 C:D = E:F 이면, AD = BC 이고 CF = DE 라는 데에는 동의하지요?
마찬가지로 A:B = E:F 를 증명하기 위해서는 AF - BE = 0 을 보이면 됩니다.
그런데 그것을 보이는 것은, C≠0 인 경우에는 C(AF - BE) = 0 을 보이는 것과 마찬가지랍니다. 이 정도면 답이 됩니까?
물론 D≠0 인 경우에는 D(AF - BE) = 0 을 보이는 것과 마찬가지이구요. 하지만 이 부분을 다시 증명하려고 할 필요는 없답니다. 주어진 식을 거울을 통해서 보면, "A:B 는 B:A 로" 보이니까요.
A:B 는 수로 볼 수도 있고, 또는 좌표평면에서 원점과 점 (A,B) 를 지나는 직선으로 볼 수도 있지요. 따라서 A:B = C:D 라는 것은 "원점과 점 (A,B) 를 지나는 직선"과, "원점과 점 (C,D) 를 지나는 직선"이 같다는 뜻이지요. 직선이 싫으면 "원점에서 바라보는 ±방향"이라 볼 수도 있구요. C 와 D 가 모두 영이면 (C,D) 는 좌표평면에서 원점을 뜻하므로 원하는 결론을 얻을 수 없습니다. 하지만 이 둘 중에 적어도 하나가 영이 아니면 그 때는 분명한 직선을 나타내므로 원하는 결론이 나지요.
큰 발전!
추신: 나에게 편지 그만 하게. 친구도 없나? 선배도 없나? 조교도 없나? 담당 교수도 없나?
Q040906:
미적분학2, 552페이지 (13.2)와 (13.3) 사이에 "X(t)가 뉴튼의 운동 방정식을 만족시키면"이라고 되어 있는데요, 그때 질량은 1이라고 가정하는 건가요? 그리고 이 보기가 케플러의 제2 법칙과 결론이 같기는 한데 (영역의 넓이는 시간에 비례한다) 그게 행성의 궤도가 타원이라서 뉴튼의 운동 방정식을 만족시키기 때문인가요? 잘 이해를 하지 못하고 있습니다. 벡터장 F와 곡선 X가 뉴튼의 운동방정식을 만족시키면 선분 OX가 지나간 영역의 넓이가 시간에 비례한다는 것이 일반적인 결론이고, 따라서 케플러의 제2 법칙을 얻으려면 행성의 궤도와 중력장이든 뭐든 무슨 벡터장이 뉴튼의 운동방정식을 만족시켜야 할 텐데......설명 좀 부탁드립니다.
A040906: 1. 질문 감사합니다. 설명이 좀 부실하여 죄송합니다. 먼저 질량에 관한 것부터 이야기하지요. 뉴튼의 방정식은 잘 아시다시피 "중력=질량x가속도" 입니다. 그런데 중력이라는 것이 질량에 비례하는 것이지요. 교과서에서는 "중력 = F x 질량"으로 해석하였답니다. (벡터장 F 는 질량과 상관없이 정하는 것이 보통입니다.) 그러므로 F = X'' 의 양변에 모두 질량을 곱한 것을 뉴튼의 방정식이라 말하는 것이 더 적절할 수 있습니다. 아니면 "뉴튼의 운동방정식"을 그냥 "방정식"으로 고쳐 쓰는 것이 좋을 것 같기도 하구요.
2. 벡터장 F 가 거리의 제곱에 반비례하면 방정식 F = X'' 을 만족시키는 곡선(의 궤적)이 타원이라는 것을 유도할 수 있습니다. 그러나 교과서에서는 벡터장이 굳이 거리의 제곱에 비례하지 않더라도 위치벡터장 r 에 비례하기만 하면 케플러의 제2 법칙(또는 그와 유사한 법칙)이 성립한다는 뜻입니다.
Q021014: 미적분학2책으로 공부하다가 의문이 생겨서 질문 드립니다.
v방향으로 방향미분을 생각할 때, v의
크기에 따라 달라지게 되는데
v가 단위벡터가 아닌 경우에 방향미분의 의미를 잘 모르겠습니다.
그리고 445쪽 극좌표계와
직각좌표계에서.. 삽입한 그림의 의미를 도저히 알 수 없었습니다.
A021014: 보통 책들에는 방향미분을 할 때 "단위벡터"를 생각하지만, 우리 책에는 단위벡터가 아닌 경우에도 "방향미분"이라는 용어를 사용하였습니다. v 가 단위벡터가 아닌 경우에 방향미분값은 v/|v| 방향미분값의 |v| 배입니다. 빨리 움직이면 변화율이 커지고, 천천히 움직이면 변화율이 작아진다는 뜻이지요. 표준 속력 1 로 움직이는 경우가 단위벡터의 경우입니다.
그리고 445쪽 그림에 관한 설명은 아래쪽 주석에 짧게 나와 있습니다. 벡터장은 함수를 미분하여 새로운 함수를 얻는 작용소 역할을 합니다. 거꾸로 "함수를 일계 미분하는 작용소"는 모두 벡터장에서 얻습니다. 이러한 관계는 일대일 대응이고, 따라서 "벡터장"과 "일계 미분작용소"는 같은 것으로 보아도 좋습니다.
Q000825: 교수님 질문이 하나 더 있습니다.
미분에 관련된 것입니다. dy/dx에 관련된 질문인데요.. 어찌 보면 당연한 거라서...제가 부족한건지...
제가 고등학교때 배우기는 dy/dx는 미분기호로서 dy/dx=y'=f'(x)라고 배웠습니다. 그런데 어느 순간부터인가 dx와
dy를 분리하기 시작하더군요.. 실제로 고등학교 정석에서도 이렇게 계산하는 예가 있고요..(치환적분에서) 대학과정에서는 예사로 쓰이고 있습니다.
처음에는 의아했지만 그냥 외우다 싶이하여 지금까지 지내왔는데.. 개념적으로 이해를 하려니까 문제가 생기고 있습니다.
lim
(f(x+h)-f(x))/h = df/dx
h->0
이니까.. d/dx는 f를 x에 대하여 미분한다는 뜻인데요,
어떻게 하여 df와 dx가 마치 하나의 숫자나 문자처럼 등식의 양변에 나누어지고 곱하여 지는지..정말 모르겠습니다.. 이것이 나아가
dF = F_x dx+ F_y dy 라는 형태로...
이것도 그냥 그런가 보다 하고 외웠는데...F_x 와 F_y 는 편미분..
책을 다 뒤져도 이것에 대한 설명은 없어서 질문을 드리는 것입니다. 그리고 또 하나의 의문점이 있는데 이것은 적분과
관련하여서 입니다. 일단 dx와 dy가 나누어진다고 하면, dy/dx=2 dy=2dx 이것을 적분하여
Int_{y0,y1} dy = Int_{x0,x1} 2dx
해서 y1-y0 = 2(x1-x0)인데요.. 이것은
정적분인경우이고 만약에 부정적분이면 어떻게 되나요? y1,y0,x1,x0가 없으면요.. 그렇게 되면 Int와 dx, Int와 dy가
각각 따로 붙이는 기호가 되는데..int와 dx, int dy는 한셋트가 아닌가요?
정적분의 경우는 정의를 이용하요 해석을 하면 되지만
부정적분은 그렇게 되지가 않네요...
제가 고민해본결과, 이러한 의문은 제가 dx,dy를 제대로 이해하고 있지 못해서 생긴것
같습니다..
교수님 도움을 좀 주세요... 그럼 연락기다리겠습니다..~~~
A000825: 이 군! 다음부터 문장에 ..을 좀 적게 사용하면 좋겠어요.. 점점 이상하게 느껴져요...
그건
그렇고, 참 좋은 질문입니다. 하지만 내가 설명을 잘 할 수 있을지 걱정입니다. 우선 평면에서 정의된 함수 f(x,y) 에
대하여 df 가 무엇을 뜻하는 지 생각해 보기로 합시다. df 라는 것을 f 의 "순간변화율"을 나타내는 뜻으로 쓰고 싶습니다.
그러나 변화율이라는 것은 상대적인 것이기 때문에 "무엇에 대한 변화율"인지를 말할 필요가 있습니다. 그 `무엇'이란 바로
방향을 뜻하고, 또는 일반적으로 벡터라고 보아도 좋습니다. 그러므로 df 는 방향 또는 벡터만 알려주면 그 방향으로의 순간변화율을
말해줍니다. 그러므로 df 는 실수값이라기 보다는 벡터 v 를 대입하면 실수가 되는 그런 것입니다. ("미적분학 2", p. 588
주석 참고) 이 실수를 "v-방향 미분계수"라고 부르고 df(v) (또는 D_v f 나 d_v f 등) 로 씁니다.
물론 변화율을 구하는 점 P를 명시하려면 df(P;v) 등과 같이 복잡한 기호가 필요하겠지요:
예를 들면 평면에서 가장 기본적인 함수가 x 와 y 입니다. 처음 함수는 x 좌표값을 알려주는 함수이고, 두 번째 함수는 y 좌표값을 알려주는 함수를 나타냅니다. (종종 점 (x,y) 와 함수 x, y 를 혼용하여 사용하기는 하지만요.) 하여튼 평면에서 x 축 방향의 단위벡터를 i = (1,0) 라 하고, y 축 방향의 단위벡터를 j = (0,1) 이라 한다면
dx(i) = 1, dx(j) = 0, dy(i)=0, dy(j) = 1
입니다. 또 일반 벡터
에 대하여
입니다.
이제 합성함수 미분법(즉, 연쇄법칙)을 다시 쓰면 다음과 같습니다:
.
다시 말하면 f 의 v-방향 순간변화율은
입니다.
보기를 들어 f(x,y) = x2 + y2 인 경우에는
df = 2 x dx + 2 y dy
입니다.
|
정리: df = 0 => f = const |
어떠한 방향으로도 변화율이 영이면, 그 함수는 변화하지 않는 상수함수라는 이야기입니다. 증명도 어렵지 않습니다.
이제 df 에 대하여 마음 편안하게 느낀다면 계속하여 나갈 수 있습니다.
그러면 과연 df/dx 는 어떠한 의미를 가질까요? df 와 dx 가 모두 벡터에 대한 함수이니 두 함수의 비를 생각할 수 있습니다. 만약 df/dx = 2 이라면 df = 2 dx 이고, 따라서 0 = df - 2 dx = d(f - 2x)입니다. 위 정리에서 f - 2 x = const 이고, 따라서 f = 2 x + const 입니다. (보통 일변수 함수 f(x)를 이변수 함수로 생각할 때에는 f(x,y) 의 값을 f(x) 로 이해합시다.)
오늘은 다른 일이 많아서 이 정도로만 합시다...
Q000824: 안녕하세요? 저는 농업생명과학대학 생물자원공학부 소속 학생입니다. ln(x) 를 x에 대해서 미분할 때는 자연상수 e 의 정의가 필요한 것 같던데요..... 저는 자연상수 e 를 왜 lim_{x -> 0} (1+x)^(1/x) 로 정의했는지 궁금합니다. (쓸데 없는 질문이긴하지만.....그래도 궁금하군요.....^^;)
A000824: 자연상수 e 는 질문에 있는 것처럼 정의하여도 되고, 또는 "미적분학 1"(pp.6, 42)에 있는 것처럼
으로 정의하여도 됩니다.
자연 상수를 정의하는 방법에는 여러 가지가 있습니다.
어떤 함수 f(t) 의 순간변화율은 f'(t) 로 나타냅니다. 이것은 단위시간에 f(t) 가 얼마나 증가하였는가를 측정하는 값입니다.
그리고 순간변화율을 그 시각의 함수값으로 나눈 것 f'(t)/f(t) 를 두당(頭當)순간변화율이라 합니다. (만약 어느 구역에 사는 모기의 마리수가 시각 t 일 때 f(t) 라 한다면, f'(t) 는 단위 시간 후에 전체 모기수가 얼마나 늘어 났는가를 말하여 주고, f'(t)/f(t) 는 모기 한 마리가 단위 시각후에 몇마리나 늘어 나는가를 알려줍니다) 여러 가지 흥미있는 함수 들이 많이 있겠지만, 방사능 붕괴라던지, 뜨거운 찻잔이 식는다던지, 박테리아가 번식한다던지 하는 것들은 모두 미분방정식
f'(t)/ f(t) = const
를 만족시킵니다. 이와 같이 변화하는 함수를 기하급수적으로 변한다고 말하기도 하고, 지수함수처럼 변한다고도 말합니다. (지수함수 f(t) = at 는 위 미분방정식을 만족시킵니다. 역으로 위 미분방정식을 만족시키는 함수는 모두 지수함수입니다.) 수학자들은 위 식에서 const = 1 인 경우를 알면 나머지 경우는 다 이해할 수 있다는 것을 알았습니다. 이제 처음 시각에 한 마리이던 (f(0)=1) 함수 f(t) 의 두당 순간변화율이 1 이라 합시다. 이 함수의 1 시각 후의 값을 e 로 정의하기도 합니다:
f'(t)/f(t) = 1, f(0)= 1 => e = f(1).
이러한 함수는 f(t) = f'(t) 이고, 따라서 이 식을 미분하여 f'(t) = f''(t) 임을 알고, 계속하여
f(t) = f'(t) = f''(t) = f'''(t) = ...
을 얻습니다. 그러므로 테일러 이론을 안다면
f(t) = f(0) + f'(0)t + f''(0) t2/2! + f'''(0) t3/3! + ... = 1 + t + t2/2! + t3/3! + ...
입니다. 그러므로 t = 1을 대입하여
e = 1 + 1/2! + 1/3! + ...
입니다. 이것을 정의로 삼아도 됩니다.
어떤 사람은 구간 [1,a]에서 함수 1/x 의 그래프 아래쪽의 넓이가 1 이 되는 실수 a 를 자연상수 e 라고 정의 하기도 합니다.
자연의 섭리를 이해하기 위하여 내리는 정의에 여러 가지 다른 방법이 있더라도, 자신이 가장 좋아하는 것을 정의로 선택하면 됩니다.
연습문제: 은행에 원금 1을 예금하고 1년후에 원리합계를 찾는 경우를 생각합시다.
이율이 반년마다
1/2 이면 1년 후에 찾는 금액은 (1 + 1/2)*(1 + 1/2) = (1 + 1/2)2 입니다.
이율이 4개월마다 1/3 이면 1년 후에 찾는 금액은 (1 + 1/3)*(1 + 1/3)*(1 + 1/3) = (1 +
1/3)3 입니다.
이율이 3개월마다 1/4 이면 1년 후에 찾는 금액은 (1 + 1/4)4
입니다.
이율이 매달마다 1/12 씩 붙으면 1년 후에 찾는 금액은 (1 + 1/12)12
입니다.
이율이 매일 1/365 씩 붙으면 1년 후에 찾는 금액은 (1 + 1/365)365
입니다.
이와 같은 방법으로 이율을 매초 붙인다면 1년 후에 찾는 금액은 얼마입니까?
답: 2.7182818284...
Q000802: 미적분학 보다 더 쉬운 책 소개 좀 해주십시오.
안녕하세요? 저는 농업생명과학대학
생물자원공학부 학생입니다. 방학동안 "미적분학1"(저자:김홍종 교수님)을 "혼자" 풀어보려고 하는데 뜻대로 잘
않되는군요.....(창의력과 실력의 부재로 인해....) 이걸 극복하려면 좀더 많은 책을 읽어봐야 될 것 같습니다. 만약 혹시
"다루는 종목은 적고 설명이 많은 책"이 있다면 소개 좀 해주십시오.(물론 여러 권이어도 됩니다.) 그럼 저는 이만....
A000802: G. Thomas, R. Finney, Calculus, 9th ed., Addison Wesley,
1996.
를 번역한 책이 시중에 있는 걸로 알고 있어요. 영문 책도 좋아요. 그럼 좋은 성과 있기를 바랍니다. (현재 10판이 나왔다고
회신이 왔습니다.)