이 글에서는
를 증명한다. 처음 공식을 알면 두 번째 공식은 합성함수 미분법과
를 이용하여 얻는다.
편의상 
인 경우를 살펴 보자.
그림에서
이고, C 는 점 B에서 그은 단위원의 접선이 직선 
와 만나는 점이다. 한편 
는 호 AB 의 길이이고, 이것은 현 AB 의 길이보다 크고, 선분 BC 의 길이보다
작다:
한편 
이므로
를 얻는다. 이제 
를 0 으로 보내면
를 얻는다.
A(000823): 절대값이 작은 t 에 대하여 sin t = t 라는 명제는 sin x 함수를 미분하면 cos x 함수가 된다는 것의 특별한 경우입니다. 다시 말하면 원점 x = 0 에서 sin 함수의 변화율을 구하면 cos 0 = 1 이라는 말입니다:
(*) 
.
위 식을 달리 쓰면 "|t| 가 아주 작으면 sin t ≒ t 이다"입니다. 이제 등식 (*)를 증명하여 봅시다. (비록 더욱 일반적인 경우의 증명이 위에 있지만) 우선 중심각이 t 인 부채꼴 AOB를 생각합시다.
편의상 OA를 단위길이로 정하면, 호 AB 의 길이가 바로 t입니다. 그리고 점
A에서 OA 에 수직인 직선이 OB 의 연장선과 만나는 점을 D 라 하면
AD = tan t
입니다. 한편 부채꼴 AOB의 넓이는 삼각형 AOB 보다 크고 삼각형 OAD 보다 작으므로, 다음 부등식(의 1/2)을 얻습니다:
sin t < t < tan t (t > 0).
이 식을 변형하면 (tan t = sin t / cos t 이므로)
(**) 
을 얻습니다. 이 식은 t 가 음수라도 성립한다는 것을 바로 알 수 있을 것입니다. 그러므로 t 의 절대값이 아주 작으면 cos t 는 1 에 아주 가까워지고, 따라서 sin t 와 t 의 비도 1 에 가까워집니다. 그러므로 (*) 의 증명을 마칩니다.
어떻습니까? 따라 올 만하지요?
만약 t 와 sin t 의 비를 보는 것 대신 그들의 차를 보고 싶으면 (**)를 변형하여 정리하면
(***) | t - sin t | < |t| ( 1- cos t)
를 얻습니다. 특히 |t - sin t| < |t| 임을 알지요. 그럼 오늘은 이만. ㅎㅈ
R(000823): 삼각함수의 테일러 전개식
sin x = x - x3/3! + x5/5! - x7/7! + ... = x + x3 g(x), g(0) = -1 /6
을 안다면 lim (sin x)/x = lim (1 + x2 g(x)) = 1을 얻을 수 있습니다. 사람들이 sin t ≒ t 에 관심을 가지는 이유는 다음과 같습니다. 자연 현상 중에는 선형적인 것과 비선형적인 것이 있습니다. 선형적이란 힘을 두 배로 가하면 결과가 두 배로 커지는 것을 말합니다. 삼각함수의 경우에는 sin (2x) 와 2 sin x 가 다르므로 사인함수는 비선형적입니다. 수학자들은 선형현상을 오랫동안 연구하였기 때문에 이러한 문제들은 제법 잘 이해하고 있습니다. 하지만 비선형 현상은 최근에야 조금씩 그 신비가 알려지기 시작하였습니다. 진자가 움직이는 것이나, 심장의 수축 이완 같은 것은 모두 비선형 현상입니다. 좋은 경우에 비선형 현상은 국소적으로 선형현상과 비슷하므로 sin t ≒ t 라는 것 등을 사용합니다. 일반적인 함수 f(x) 의 경우
f(x) ≒ f(0) + f'(0) x
입니다. 즉, ``비선형 함수라도 국소적으로는 직선의 방정식과 비슷하다''는 말을 수식으로 표현한 것이 위 식입니다. 이것이 바로 미분법입니다.