기초복소해석
계승혁, 김영원 저
서울대학교출판부, 2003, pp.214+x

강의동영상

수학에서 가장 기본적인 함수는 다항식이다. 정의역에 속한 각 점의근방에서 테일러 다항식들로 한없이 근사가능한 함수를 해석함수라고하는데, 다항식과 많은 성질을 공유하는 해석함수는 대단히 널리사용되고 있다. 모든 초등함수를 포함하여, 미적분학에서 다루는 거의모든 함수가 해석함수이다. 그러나 해석함수의 성질을 더 체계적으로 이해하기 위해서는 그것을복소함수로 볼 필요가 있다.

복소수체는 모든 대수방정식이 근을 가지도록 유리수체를 확장한것이다. 즉 모든 다항식은 복소수 범위에서 일차 다항식들의 곱으로인수분해된다. 이런 까닭에서 비록 실계수 다항식을 다룰 때에도그것의 정의역을 복소수체로 보는 것이 더 자연스럽고 또한 편리하다.이는 테일러 다항식의 극한, 즉 테일러 급수로 표현되는 해석함수의경우에도 마찬가지이다. 한편 복소수들의 모임을 자연스레평면에 있는 점들의 모임으로 볼 수 있으므로,복소함수는 평면의 부분집합에서 평면으로 가는 사상이다. 따라서복소해석함수는 테일러 다항식의 극한인 동시에, 특별한 성질을 가지는평면사상이기도 하다. 이러한 두 측면은 서로를 보완하기 때문에,복소함수를 잘 다루기 위해서는 이들 모두를 잘 이해해야 한다.

이 책의 목적은 대학 일학년에서 미적분학을 마친 학생들에게복소해석학의 초보적인 기법과 응용을 소개하는데에 있다. 먼저 복소수의 사칙연산과 복소평면의 성질을 간단히살펴보고, 사칙연산으로 정의되는 다항식함수 및 일차분수함수의성질들을 공부한다. 특히 일차함수는 축소 또는 확대변환과 회전이동, 그리고 평행이동의 합성,즉 방향을 보존하는 닮음변환임을 알게 된다.삼각함수나 지수함수 등 초월함수들을 복소수에정의하기 위하여 멱급수를 공부하는데, 그 기본적인 틀은 실함수의경우와 크게 다르지 않다.

복소함수의 경우도 실함수와 마찬가지로 뉴턴몫의 극한이 존재할 때 미분가능하다고 말한다.그러나 이러한 복소미분가능성은 복소함수를 평면사상으로 보았을 때의 미분가능성에 비해서 매우제한적이다. 복소미분가능성은 국소적으로 방향을 보존하는 닮음변환처럼 행동함을 뜻하는 것에 반하여,복소함수를 평면사상으로 보았을 때의 미분가능성은 국소적으로 단순히 선형사상과 평행이동의 합성처럼 행동함을 뜻한다.복소미분가능성의 이러한 특성을 수식으로 나타낸 것이 3 장에 나오는 코시-리만 방정식이다.같은 장에서, 우선 정의역에 속한 각 점의 근방에서 미분가능한 함수를 해석함수라정의하고, 다음

a_0 + a_1 (z-a) + a_2 (z-a)^2 + a_3(z-a)^3+ ....

과 같이 멱급수로 주어진 함수는 모두 해석함수임을 보인다. 역으로,모든 해석함수는 멱급수로 표현할 수 있는데, 이 사실은 4 장에서 증명한다. 이로써한 점의 근방에서 미분가능함과 같은 근방에서 멱급수로 표현됨이 같은 개념임을 알게 된다.특별히 복소함수가 한 점의 근방에서 미분가능하면 자동적으로 같은 근방에서 한없이미분가능하다는 결론을 얻게 되는데, 이는 실함수의 경우와 크게 다른 점이다.또한 코시-리만 방정식으로부터 해석함수의 실수부와 허수부가 조화함수임을 알게 된다.

복소해석학의 정수는 4 장에서 공부하는 선적분이다. 우선 복소함수의 선적분을도입한 뒤에, 원시함수의 존재와 선적분의 값이 곡선의 출발점과 도착점에 의해서만결정됨이 같은 조건임을 살펴본다. 이는 또한 임의의 닫힌 곡선을 따른 선적분의값이 0 이라는 조건과도 같다. 복소해석학에서 가장 기본적인 정리인 코시-구르사정리는 모든 해석함수가 국소적으로 원시함수를 가짐을 알려준다. 따라서 우리는적분값을 변화시키지 않으면서 해석함수의 적분경로를 적절히 변형시킬 수 있다.이 사실을 응용함으로써 해석함수의 값을 선적분 값으로 나타내는 코시의적분공식을 얻으며, 또한 이로부터 앞에서 언급한 해석함수의 멱급수표현을유도한다. 이상의 결과를 활용하여, 코시 부등식, 항등정리, 최대절대값 정리등 해석함수의 기본적인 성질들을 얻는데, 이는 4 장의 뒷부분에서 다루었다.

중심을 제거한 원판에 정의된 해석함수에 코시-구르사 정리와 코시적분공식을 적용하면, 그 함수를 로랑급수 즉

.... + a_{-2}/(z-a)^2 + a_{-1}/z-a + a_0 + a_1 (z-a) + a_2 (z-a)^2 + ....

꼴의 급수로 표현할 수 있다. 이러한 표현은 고립특이점 근방에서 해석함수의 행동을 기술할 뿐만 아니라,코시-구르사 정리와 결합하여 여러 가지 실적분의 값을 구체적으로 구할 수 있게 해준다.이와 관련된 주제들인 고립특이점의 분류, 함수의 로랑급수 전개, 유수정리, 편각원리,그리고 실적분의 계산 등을 5 장에서 다루었다. 또한 5.4 절에서는 함수를 부분분수들의합으로 표현함으로써, 몇몇 급수의 합을 구체적으로 구하는 보기를 제시했으며, 그러한 계산이 정당함을설명했다.

경계조건이 주어진 2 차원 라플라스 방정식의 해를 복소해석의 기법을 이용하여구할 수 있는데, 이는 해석함수가 코시-리만 방정식을 만족하기 때문이다. 이와관련된 주제들인 디리끌렛 문제, 푸아송 적분, 등각사상 등을 6 장에서 다루었다.특히 조르당 영역에 대해서, 디리끌렛 문제를 푸는 것과 리만사상을 구하는 것 사이의관계를 설명하였으며, 슈바르츠-크리스토펠 변환을 포함하여 몇몇 구체적인 등각사상의보기를 들었다.

이 책의 목적은 앞서 언급하였듯이 대학 미적분학을 마친 학생들이 무리없이 복소해석의기본 내용을 이해하도록 하는 데에 있다. 따라서 실수체의 완비성공리와 관련된 몇 가지기본 성질들은 당연한 것으로 간주하였다. 보다 구체적으로 말하자면, 급수의 수렴성에 관한비교판정법을 증명없이 받아들였으며, 코시-구르사 정리에서도 완비성공리와 동치인축소구간정리를 증명없이 받아들이고 논의를 진행하였다. 이러한 부분은 복소해석의문제라기보다는 해석개론의 문제이기도 하다. 또한 대역적인 항등정리 등 위상수학의 기법을사용해야 하는 경우에도 논리 전개에 약간의 문제가 있을 수 있으나, 이는 직관적으로 받아들일 수 있는정도이다. 한편, 이 책에서는 학생들의 부담을 고려하여 고른수렴(uniform convergence)을 언급하지 않았다.그러나 테일러 전개, 로랑 전개, 바이어쉬트라스 정리 등 극한과 미적분의 순서를 바꾸어야 하는경우 굳이 고른수렴이라는 개념을 사용하지 않고도 이야기를 전개할 수 있으므로 크게문제되지 않는다.

이 책의 본문 사이 사이에 나오는 연습문제들은 매우 기본적인것들로서 본문의 내용을 이해하였다면 모두 풀어야 할 것이다. 반면 각장의 끝에 나오는 연습문제들은 본문에서 다루지 못한 내용을 보충하는것도 있고 좀더 복잡한 예를 다루는 것도 있기 때문에, 연습문제풀이의 도움말이나 답을 책 뒤에 제시하였다. 이 책으로 공부하는이들은 이를 보지 말고 문제를 풀도록 노력해야 할 것이다. 이 책을 한학기 교재로 쓰는 경우 모든 내용을 다루기는 좀 벅차다. 이 책의5.3 절까지는 한 학기 복소해석에서 다루어야 할 기본적인내용이다. 그 이후에 나오는 5.4 절, 6.1 절, 6.2 절은 그내용이 서로 독립적이므로 강의자가 적절히 취사선택할 수 있다. 물론6.3 절 이후에 나오는 내용은 6.1 절과 6.2 절에의존하지만 강의자의 취향에 따라서 적절히 그 내용을 선택할 수있으며, 경우에 따라서는 연습문제 가운데 적절한 내용을 다룸으로써5.3 까지만 한 학기에 할 수도 있다.

이 책에는 기본적으로 저자들이 그 동안 복소해석을 강의하면서 경험한 것들이반영되어 있다. 따라서 그 동안 저자들이 강의한 복소해석 과목을 수강한 학생들에게 감사의 뜻을 표한다.특히, 지난 가을 학기에 서울대학에서 복소해석을 수강한 학생들은 엉성한 이 책의 초고를통하여 공부하면서 수없이 많은 오류를 지적해주었는데, 이들에게 감사드린다.또한 초고와 연습문제들을 일차로 읽어줌으로써 큰 도움을 준 서울대 수학과대학원생 김우찬 군에게 감사드린다. 끝으로, 이 책의 원고를 읽고 여러 가지제안을 해준 연세대 수학과 기하서 교수께 감사드린다. 물론 이러한 도움에도불구하고 이 책에서 혹시 발견될지도 모르는 모든 오류에 대한 책임은 전적으로 저자들에게 있음을 밝힌다.

2003 년 6 월

제 1 장 복소평면과 복소함수
1.1.복소평면
1.2. 일차함수와 이차함수
1.3. 일차분수함수
1.4. 연습문제

제 2 장 복소수열과 멱급수
2.1. 복소급수의 수렴
2.2. 멱급수와 수렴반경
2.3. 초월함수
2.4. 연습문제

제 3 장 해석함수
3.1. 복소함수의 극한과 미분
3.2. 코시-리만 방정식
3.3. 멱급수의 미분
3.4. 연습문제

제 4 장 코시 적분공식
4.1. 선적분
4.2. 코시-구르사 정리
4.3. 코시 적분공식과 멱급수
4.4. 코시 적분공식의 응용
4.5. 연습문제

제 5 장 로랑급수와 유수계산
5.1. 특이점과 로랑급수
5.2. 유수정리와 편각원리
5.3. 실적분의 계산
5.4. 무한급수의 미분과 적분
5.5. 연습문제

제 6 장 조화함수와 등각사상
6.1. 조화함수의 성질
6.2. 등각사상의 성질
6.3. 디리끌렛 문제
6.4. 여러 가지 등각사상
6.5. 다각형과 등각사상
6.6. 연습문제

연습문제 도움말

참고문헌