교양을 위한 대학수학 - 제 2 권 다변수함수의 미적분

교양을 위한 대학수학 - 제 2 권 다변수함수의 미적분
김성기, 고지흡, 김홍종, 계승혁, 하길찬 저
교우사, 2005, 256+ix쪽
정오표 (2005년 9월)

이 책은 제 1 권의 연속으로서, 다변수함수의 성질들을 공부하기 위한 책이다. 대부분의 사회현상이나 자연현상은 몇 가지 변수에 의하여 기술되게 마련이므로 변수가 여러 개인 다변수함수를 분석하는 도구가 필요한데, 일변수함수의 경우와 마찬가지로 미적분이 그 핵심이다.

다변수함수 자체를 공부하기 앞서, 제 1 장에서는 다변수함수의 정의역 역할을 하는 좌표공간에 관하여 먼저 공부한다. 좌표공간의 점들을 원점에서 그 점까지 가는 벡터로 이해하면 각 점들 사이에 연산을 할 수 있는데, 이러한 공간을 벡터공간이라 한다. 따라서 우리는 좌표공간을 벡터공간으로 이해하고 그 성질을 공부한다. 고등학교에서 이미 벡터에 대하여 공부한 학생이라면 제 1 장의 상당 부분은 쉽게 지나갈 수 있을 것이다.

일변수함수의 경우 미분을 이해하기 위하여 일차식과 이차식의 성질을 미리 알아야 하듯이, 다변수함수의 경우에도 일차식과 이차식의 성질을 미리 공부할 필요가 있다. 제 2 장에서는 일차식을 공부하는데, 일차식을 표시하는 중요한 방식이 바로 행렬이다. 특히, 변수가 여러 개인 연립 일차방정식을 행렬로 표시하고, 일차방정식을 푸는 과정이 해당 행렬에 어떠한 조작을 가하는 것인지 살펴본다. 또한, 이러한 행렬을 일차변환으로 이해하는데, 그 과정에서 행렬의 여러 가지 연산이 어떠한 의미를 가지는지 자연스레 드러나게 된다.

행렬 그 자체는 그저 숫자들을 나열한 것에 지나지 않지만, 이를 해석하는 방법은 매우 다양하다. 행렬을 일차변환으로 이해하는 것 다음으로 기본적인 해석은 행렬을 이차동차식으로 이해하는 것인데, 이를 제 3 장에서 공부한다. 일변수 이차식의 경우 그 이차항의 계수가 양수인지 음수인지에 따라서 최소값을 가지는지 아니면 최대값을 가지는지 결정되었다. 다변수함수의 경우 이 계수에 해당하는 것이 바로 행렬인데, 이 행렬의 부호가 어떻게 되는지에 따라서 해당 이차식의 성질이 결정되고, 이러한 행렬의 부호를 결정하는 데에 핵심적인 역할을 하는 것이 바로 행렬식이다. 변수가 두 개인 경우, 이차식의 성질을 이해하는 것은 결국 타원이나 쌍곡선 등 여러 가지 이차곡선을 이해하는 것이나 마찬가지이다.

일변수함수의 미분은 결국 접선을 구하는 것인데, 이변수함수의 경우 함수의 그래프가 나타내는 곡면의 접평면을 구하는 문제로 귀착된다. 평면의 기울기는 벡터로 표시되므로 다변수함수에서 미분계수에 해당하는 것은 벡터로 표현되고, 이를 그래디언트 벡터라 부른다. 이 벡터의 각 성분을 구하는 과정이 바로 편미분인데, 제 4 장에서 이를 공부한다. 일변수함수의 경우 함수의 극대 극소를 판별하기 위하여 이계미분계수를 구하는데, 이는 주어진 함수에 가장 유사한 이차식의 계수를 구하는 것이었다. 마찬가지로, 주어진 다변수함수와 가장 유사한 이차식을 구하면 극대 극소를 판별할 수 있는데, 이 다변수 이차식의 계수에 해당하는 행렬이 바로 헤세 행렬이다. 제 4 장에서는 이러한 다변수함수의 미분에 관한 기본 사항들을 공부하고, 여러 가지 상황에서 최대값과 최소값을 어떻게 구할 수 있는지 알아본다.

이변수함수의 적분은 이 함수가 나타내는 곡면과 함수의 정의역인 평면 사이의 부피를 구하는 것이다. 따라서 정의역에 해당하는 평면을 바둑판처럼 잘게 자르고 그 위에 서 있는 직육면체의 부피를 모두 더한 후에 극한을 취하면 된다. 제 5 장에서는 이러한 이중적분을 일변수함수의 적분을 반복함으로써 구할 수 있음을 배우게 된다. 평면 사이의 변환이 주어지는 경우 치환적분에 의하여 이중적분을 구할 수 있는데, 이를 위하여 변환의 미분을 간단하게 알아본다. 다변수함수의 미분이 그래디언트 벡터로 표시되는데 비하여, 벡터함수의 미분은 각 성분함수의 그래디언트 벡터들을 늘어놓은 행렬로 표시되고, 이 행렬의 행렬식이 치환적분에서 중요한 역할을 하게 된다.

이 책의 제 1,2,3 장을 공부하는 데에 미리 공부해야 하는 부분은 별로 없다. 특히, 1.4 절에 나오는 벡터의 미분을 제외하면 제 1 권에서 공부한 미분과 아무런 관련이 없다. 고등학교에서 배우는 좌표평면에 대하여 충실하게 공부한 학생이라면 무리 없이 제 1,2,3 장을 볼 수 있다. 제 4,5 장에서 다루는 다변수함수의 미적분을 이해하기 위해서는 물론 제 1 권의 제 1,2,3 장에서 공부한 일변수함수의 미적분을 알고 있어야 한다.

미분과 적분은 여러 가지 자연현상이나 사회현상을 분석하는 도구이다. 우리가 톱을 사용하려면 톱이 어떤 역할을 하는지 아는 것도 중요하지만 그 톱을 능숙하게 이용하기 위해서는 반복적인 연습을 통하여 손에 익히는 것이 필요하다. 미적분을 도구로 직접 사용해야 하는 학생이라면, 미적분의 이론적인 내용을 이해하는 것도 중요하지만 그에 못지 않게 그 계산에 숙달할 필요가 있다. 미적분이 여러 분야에 폭넓게 쓰이는 것도, 서로 다른 현상을 설명하는 데에 같은 방식의 기계적인 계산을 사용한다는 점이 큰 이유 가운데 하나이다.

물론, 톱이라는 도구를 직접 이용하지는 않지만, 그 도구가 어떻게 생겼는지, 어떻게 쓰이는지, 또는 톱의 내력이 어떠한지 알아보는 것도 재미있는 일이다. 미적분은 인류의 과학사에서 가장 위대한 발견 중의 하나로 일컬어지고 있다. 자신의 전공에서 미적분을 도구로 사용하지 않더라도, 미적분이란 무엇이며 어떤 현상을 분석하는 데에 유용한 도구인지를 아는 것은 인류의 역사를 이해하는 데에도 크게 도움이 될 것이다.

이 책을 쓰는 동안 많은 분들의 도움을 받았다. 우선 원고의 상당 부분을 TeX 파일로 옮겨 준 박채언 씨와 연습문제 풀이의 초고를 마련해 준 최현석 군께 감사드린다. 이 책을 쓰는 동안 저자들의 여러 가지 자문에 흔쾌히 응해 준 주위 동료들께 감사드린다. 특히, 중앙대학교 경제학과 안국신 교수는 이 책에서 경제학에 관련된 부분을 읽고 의견을 주심으로써 보다 알찬 내용이 되도록 도와 주셨다. 한편, 서울대학교 수리과학부 이우영 교수는 역사에 관한 부분을 읽어 주심으로써 그 내용이 더욱 충실해질 수 있었는데, 이 두 분께 감사드린다. 그럼에도 불구하고 이 책의 내용상 오류가 있다면 이는 전적으로 저자들의 책임이다. 끝으로, 이 책은 서울대학교 자연과학대학에서 지원한 연구비의 지원을 받아 집필되었음을 밝힌다.

2005 년 6 월