해석개론,개정판
김성기, 김도한, 계승혁 저
서울대학교출판부, 2002, pp.356+xiii
제 3쇄 정오표 (2004년 1월)
제 4쇄 정오표 (2005년 4월)
제 7쇄 정오표 (2010년 11월)

이 책의 목적은 초판에서 말했다시피 미적분을 이해하고 이를 이용하여 여러 가지 함수의 성질들을 공부하는 것이다. 특히, 거듭제곱급수와 삼각급수로 표현되는 함수들의 성질을 이해하는 것이 이 책의 큰 목적이다. 이러한 함수들의 성질들을 이해하는 지름길은 그래프를 그려 보는 것이다. 이 개정판에서는 각종 함수들의 그래프를 그려 주므로써 이 책으로 공부하는 이들의 이해를 돕도록 하였다. 이 책으로 공부하는 이들은 책에 제시된 그래프를 감상하는 것에 만족하지 말고 유사한 그래프들을 각자 그려 보기 바란다.

내용 자체는 초판에서 크게 바뀐 것이 없으나 순서가 바뀐 부분이 있는데, 푸리에급수와 르벡적분의 순서를 바꾼 것이 큰 변화이다. 초판에서와 같이 르벡적분을 먼저 공부하면 푸리에급수를 훨씬 체계적으로 이해할 수 있다. 그러나, 엄밀한 해석학을 처음 공부하는 이들에게는 이론적인 명쾌함보다 각 함수에서 나타나는 현상을 먼저 파악하는 것이 낫다는 판단에서 푸리에급수를 르벡적분에 앞서 다루었으며, 르벡적분을 도입함으로써 삼각급수를 이해하는 데 어떠한 장점이 있는지 살펴보는 데 주안점을 두었다. 마지막 르벡적분을 생략하더라도 일 년 동안 공부할 분량으로는 충분할 것으로 여겨진다.

이 외에도 초판에서 순서를 바꾼 부분이 있다. 상극한과 하극한은 초판에서는 상당히 뒤에 나오지만 개정판에서는 단조수열 및 볼차노-바이어슈트라스 정리와 함께 다루었으며, 여러 가지 수렴판정법도 코시 정리와 함께 다루었다. 초판에서도 그러하였지만 이 책에서 가장 중요한 이론적인 부분은 제 6 장 "함수열"인데, 이 장에서 거듭제곱급수와 초보적인 삼각급수를 함께 다루었다. 연속함수를 다항식함수로 점근시키는 바이어슈트라스 정리와 아르젤라-아스콜리 정리는 별도로 제 7 장 "여러 가지 함수공간"에 나오는데, 이 장에서는 연속함수공간뿐 아니라 수열공간도 함께 다루었으며, 르벡적분을 뒤로 넘기는 대신 특이적분과 특이적분가능 함수들의 공간도 여기서 다루었다. 미분과 적분의 순서를 바꾸는 정리는 감마함수 등을 공부하는 데 필수적인데, 개정판에서는 물론 르벡적분을 사용하지 않고 특이적분을 이용하였다.

개정판에서는 순서뿐 아니라 체제도 약간 바꾸었다. 특히, 본문에서 증명하지 않고 넘어가는 부분이나 여러 가지 보기들을 그때 그때 수시로 연습문제로 넣었으며, 각 장의 끝에 나오는 문제들도 보강하였다.

올해로 이 책의 초판이 나온 지도 벌써 팔 년째 접어든다. 그 동안 많은 분들이 이 책에 대하여 여러 가지 비평과 제안을 해 주셨는데, 이 자리를 통하여 감사드린다.

2002 년 1 월

제 1 장 실수의 성질과 수열의 극한
1.1. 실수의 연산과 순서
1.2. 완비성공리
1.3. 수열의 극한
1.4. 단조수열
1.5. 셀수있는 집합
1.6. 연습문제

제 2 장 좌표공간의 위상적 성질
2.1. 좌표공간
2.2. 열린집합과 닫힌집합
2.3. 유계집합과 코시수열
2.4. 급수의 수렴판정
2.5. 옹골집합
2.6. 연결집합
2.7. 연습문제

제 3 장 연속함수의 성질
3.1. 함수의 극한과 연속성의 정의
3.2. 최대최소정리와 사이값정리
3.3. 고른연속함수
3.4. 단조함수
3.5. 연습문제

제 4 장 미분가능함수의 성질
4.1. 미분가능성
4.2. 평균값정리
4.3. 테일러 전개
4.4. 연습문제

제 5 장 리만-스틸체스 적분
5.1. 리만적분
5.2. 리만적분가능함수
5.3. 미적분의 기본정리
5.4. 유계변동함수
5.5. 스틸체스적분
5.6. 연습문제

제 6 장 함수열
6.1. 연속함수열
6.2. 미분 및 적분가능함수열
6.3. 이중수열과 이중급수
6.4. 거듭제곱급수
6.5. 삼각급수
6.6. 연습문제

제 7 장 여러 가지 함수공간
7.1. 연속함수공간
7.2. 수열공간
7.3. 특이적분
7.4. 특이적분가능함수공간
7.5. 연습문제

제 8 장 적분으로 정의된 함수
8.1. 연속성과 미분
8.2. 감마함수
8.3. 적분변환
8.4. 연습문제

제 9 장 푸리에급수
9.1. 푸리에계수
9.2. 푸리에급수의 점별수렴
9.3. 연속함수의 푸리에급수
9.4. 푸리에급수의 미분과 적분
9.5. 연습문제

제 10 장 르벡적분
10.1. 잴수있는 집합과 측도
10.2. 잴수있는 함수와 적분의 정의
10.3. 적분의 수렴정리
10.4. 르벡적분과 푸리에급수
10.5. 여러 가지 함수공간과 푸리에급수
10.6. 연습문제

부록 수의 체계

참고문헌