집합과 수의 체계
계승혁 저
대한수리논리학회 수리논리 연구 시리즈 3, 경문사, 2015, pp.142+vi

정오표(1판 3쇄)

강의동영상

수천년에 이르는 수학의 긴 역사에 비추어 볼 때, 집합론은 어느날 갑자기 생겨난 새로운 분야이다. 그러나, 집합론은 세상에 나오자마자 수학을 공부하는 사람이라면 누구나 알아야 하는 기본이 되었다. 실제로 19세기 후반 집합론이 나온 이후 20세기 이후의 거의 모든 수학은 집합에 그 기반을 두게 되었으며, 집합은 수학을 기술하는 언어로 자리잡았다.

수학은 기존에 알고 있던 내용으로부터 새로운 내용을 논리적으로 구성하는 학문이다. 따라서, 끊임없이 ‘왜’라는 질문을 던지게 되며, 도대체 어디에서부터 논의를 시작해야 하는가, 어디까지 당연한 것으로 받아들여야 하는가 하는 문제에 부딪히게 되는데, 결국 집합론에 이르게 된다. 그러므로, 집합론은 논리학 뿐 아니라 인간의 ‘앎’이란 무엇인가 하는 보다 깊은 철학적인 문제와 맞닿게 된다.

이 책의 목적은 수학을 공부하는 데에 꼭 필요한 언어를 배우는 것이다. 본격적인 집합론을 체계적으로 공부하는 것은 아니기 때문에, 어려운 개념이나 기호는 피하고 모든 논의를 상식적인 선에서 시작한다. 처음에는 대부분의 집합론 교재에서 첫머리에 나오는 공리조차 언급하지 않고 그냥 받아들인다.

이 책의 또 다른 목적은 자연수, 정수, 유리수, 실수 등을 구성하는 것이다. 공집합에서 출발하여 자연수를 구성할 뿐 아니라 초등학교에서부터 배우는 더하기와 곱하기를 ‘정의’하고 결합법칙과 교환법칙 및 배분법칙 등을 ‘증명’하게 된다. 이를 바탕으로 정수, 유리수, 실수를 구성하고 고등미적분이나 해석개론에서 대개 공리로 받아들이는 ‘완비성공리’ 를 증명한다. 집합론의 핵심은 무한집합의 성질을 공부하는 것인데, 이 책에서는 그 초보적인 내용을 공부한다. 자연수가 가지는 기능의 핵심은 순서를 매기고 개수를 세는 것이다. 무한집합에 대하여 이러한 일을 할 수 있는 새로운 ‘무한수’ 의 도입으로 말미암아, 인류는 그 전에 감히 들여다 볼 수 없었던 ‘무한’ 의 세계를 좀 더 자세히 이해할 수 있게 되었다.

이 책은 이러한 세 가지 목적에 부합되도록 구성되었다. 먼저 제 1장에서 집합의 연산, 함수, 그리고 수학에서 가장 기본인 동치관계 및 순서 등 모든 분야의 수학에서 필수적으로 사용되는 용어들을 정의하고 간단한 성질을 살펴본다. 이를 통하여 수학에서 가장 기본적인 언어인 ‘같다’, ‘크다’, ‘작다’ 등의 개념을 명확하게 할 수 있다. 이를 바탕으로 제 2장에서 자연수, 정수, 유리수, 실수 등 수집합을 구성하고 이들의 연산과 순서를 정의한다. 실수의 구성은 데데킨트와 칸토르의 방법 두 가지를 살펴 보는데, 두 가지 방법은 결국 같은 결론에 다다르게 된다. 제 3장에서 이 책의 핵심인 무한집합을 공부하는데, 무한집합의 순서와 개수를 세는 서수 및 기수를 도입하고 그 성질을 알아 본다. 끝으로, 제 4 장에서 이 책에서 사용한 공리들에 대하여 잠시 살펴본다.

지난 2002년 집합론 관련 과목을 강의할 기회가 있었는데, 이 책은 당시 강의록을 기본으로 한 것이다. 그 후, 서너 차례 같은 과목을 강의하는 동안 많은 수강생들이 여러 가지 오타 및 잘못을 지적하여 주었는데, 먼저 이들에게 고마움을 표한다. 이 외에도 포항공대 김현광 교수가 이 강의록으로 강의하면서 좋은 제안들을 해 준 데 대하여 감사드린다. 또한, 이 강의를 하는 동안 귀찮은 질문에 친절하게 응해 주신 경북대 정주희 교수와 연세대 기하서 교수께 감사드린다. 이처럼 많은 분들의 도움을 받았지만 이 책에 오류가 있다면 그건 전적으로 필자의 몫이다. 강의록을 쓴 지 십년도 지나서 책으로 내게 된 데에는 연세대 김병한 교수의 권유가 큰 힘이 되었는데, 그 간의 격려에 감사드린다. 끝으로, 책을 조판하는 기술적인 문제를 도와준 권현우군께 감사드린다.

2015년 5월

제 1 장 기본 개념
1.1 명제와 집합
1.2 함수
1.3 동치관계
1.4 순서

제 2 장 수의 체계
2.1 자연수
2.2 정수와 유리수
2.3 데데킨트절단과 실수
2.4 코시수열과 실수
2.5 완비순서체

제 3 장 무한집합
3.1 선택공리
3.2 선택공리의 응용
3.3 정렬집합과 서수
3.4 무한집합과 선택공리
3.5 기수의 연산과 순서
3.6 서수와 기수의 정의

제 4 장 공리계
4.1 집합론의 공리
4.2 무모순성과 독립성

참고 문헌