다변수해석학
김성기, 김홍종, 계승혁 저
경문사, 1996, pp.174

자연현상이나 사회현상을 기술하는 함수는 대개 몇 개의 변수를 가지게 마련인데, 이러한 다변수함수의 성질을 이해하는 강력한 도구가 미적분학이다. 이 책의 목적은 다변수함수의 미적분을 공부하고, 이를 이용하여 여러 가지 다변수함수의 모습을 이해하는 것이다.

일변수함수의 모습을 알기 위하여 미분을 하는데, 그 근본 목적은 우리가 잘 아는 일차함수나 이차함수와 비교하기 위한 것이다. 이러한 원칙은 다변수함수를 공부하는 데에도 마찬가지인데, 다변수 일차함수나 이차함수는 행렬로 표시할 수 있으므로 이는 본질적으로 선형대수학의 영역이다.

한편, 다변수함수의 성질을 이해하는 데 그 함수의 정의역과 치역의 역할을 하는 좌표공간의 성질을 아는 것이 필수적이다. 특히 연속성과 미적분에서 쓰이는 "극한"은 정의역과 치역의 "거리"에 의존하는 개념이므로, 좌표공간의 거리에 관한 성질을 이해하는 것이 필요하다. 이는 특히 대학 미적분학에서 배우는 여러 가지 정리를 엄밀하게 증명하는 데에 필수적이다. 그러나 이러한 엄밀한 논증은 대개 직관적으로 받아들일 수 있는 것이므로, 다변수함수를 공부하는 뼈대는 역시 선형대수학이다.

이러한 정신을 바탕으로, 우선 행렬에 관하여 공부한다. 행렬에 의미를 부여하는 방법은 무수히 많으나, 여기서는 당연히 일차식과 이차식에 관련된 성질을 집중적으로 살펴본다. 따라서 행렬을 일차변환 혹은 선형사상으로 이해하여 그 성질을 공부한 뒤, 대칭행렬을 이차동차식으로 이해하여 공부한다. 이 과정에서 행렬식은 핵심적인 역할을 한다.

다변수함수의 미분은, 주어진 점에서 그 함수와 가장 유사한 선형사상으로 정의된다. 따라서 주어진 점 근방에서 어느 함수의 모습은 그 함수의 미분으로부터 추측할 수 있다. 함수의 극값을 구하는 문제나 역함수정리 등이 대표적인 경우이다. 한편 극값이 극대인지 극소인지 알려면 그 함수와 가장 유사한 이차함수의 모습과 비교하면 되는데, 이를 위하여 이계도함수가 필요하다.

정의역이 구간들의 곱인 다변수함수의 리만적분은 본질적으로 일변수함수의 경우와 같다. 그러나 정의역이 여러 가지 모양인 경우를 다루기 위하여 영역의 "경계"에 세심한 주의를 기울일 필요가 있는데, 이를 위하여 넓이가 없는 집합 혹은 영측도집합이란 개념을 도입한다. 이중적분과 반복적분이 같음을 말해 주는 푸비니 정리와, 적분변수의 치환에 관한 치환적분공식은 다변수함수의 적분값을 계산하는 데에 필수적인 것들이다.

이 책의 핵심은 미분형식과 곡면적분을 공부하는 것이다. 공간과, 거기서 정의된 함수나 미분형식들 사이에는 밀접한 관계가 있다. 그것은 마치 땅과 나무의 관계처럼, 자라는 나무를 보면 그 땅의 성질을 알 수 있는 것과 같다. 공간과 함수의 관계, 즉 쌍대성에 대한 이해는 뿌앵까레 정리에서 출발하여 스토크스 정리에 이르게 된다. 이 책에서는 스토크스 정리를 증명하는 정도로 그치지만, 이는 드람의 코호몰로지 이론이나 하지의 조화적분론 등으로 더욱 발전된다.

이 책에서는 해석개론이나 고등미적분 등에서 다루는 좌표공간의 초보적인 위상적 성질이나 연속함수의 성질 등을 아는 것으로 간주하였는데, 이에 관한 내용은 부록에 요약하여 놓았다. 논리적인 측면에서만 보자면 선형대수학이나 일변수함수의 미적분은 몰라도 상관없지만, 이 책의 내용을 충분히 이해하고 여러 가지 예를 적용하자면 이에 관련된 경험이 어느 정도 요구된다. 이 책에 나오는 "명제"는 "정리"보다는 조금 깊이가 덜한 "옳은 명제"를 뜻한다.

이 책을 쓰는 동안 여러 분들의 도움을 받았다. 특히, 올해 봄학기에 다변수해석학을 수강한 학생들은 이 책의 초고를 바탕으로 공부하면서 수많은 질문과 제안을 하여 주었다. 한편 이 과목의 조교를 담당하였던 정경훈 군은 마지막 교정을 봄으로써 책을 완성하는 데 큰 도움을 주었다. 끝으로, 이 책은 과학기술원의 고기형 교수 연구진이 만들어 대한수학회를 통하여 배포한 한글텍으로 조판하였음을 밝힌다.

1995 년 11 월

제 1 장 일차식과 이차식
1.1. 선형사상과 행렬
1.2. 행렬식
1.3. 이차식과 대칭행렬

제 2 장 다변수함수의 미분
2.1. 다변수함수의 극한
2.2. 다변수함수의 미분
2.3. 연쇄법칙과 테일러 전개
2.4. 역함수정리
2.5. 음함수정리
2.6. 최대값과 최소값

제 3 장 다변수합수의 적분
3.1. 리만적분의 정의
3.2. 영측도집합
3.3. 적분의 성질과 계산
3.4. 특이적분
3.5. 치환적분

제 4 장 미분형식과 곡면적분
4.1. 교대 다중선형함수
4.2. 미분형식
4.3. 곡면적분
4.4. 곡면연쇄
4.5. 스토트스 정리
4.6. 닫힌형식과 완전형식

부록

참고문헌