해석개론 1 강의 동영상
계승혁(서울대학교 수학과)
촬영: 2016년 3월~6월

교재: 김성기, 김도한, 계승혁, 해석개론, 제2 개정판, 서울대학교 출판부, 2011.

미적분의 기본 원리인 극한의 개념을 다지는 과목이다. 다항함수나 멱급수로 정의된 함수를 다루는 경우 고등학교 수준에서 다루는 정도에서 극한을 직관적으로 정의해도 크게 문제되지 않는다. 그러나 삼각급수 등 보다 복잡한 함수를 다루기 위해서는 극한의 개념을 보다 엄밀하게 정의하는 것이 필요하고, 이는 실수의 기본 성질을 규명하는 일에 이르게 된다. 이러한 과정은 뉴턱과 라이프니쯔의 미적분이 세상에 나오고도 한찬 후인 19세기에 이르러 확립되었는데, 이러한 극한의 기본 개념을 바탕으로 연속함수 및 미분과 적분의 명확한 정의와 기본 성질들을 공부하게 된다. 구체적으로는 실수의 기본 성질과 수열의 극한, 컴팩트 집합과 연결집합, 함수의 극한과 연속의 엄밀한 정의 및 성질, 고른 연속함수, 미분가능함수, Riemann 적분 및 Riemann-Stieltjes 적분, 미적분의 기본 정리 등을 다룬다.

01. 강의소개
   a. 무엇을 공부하는가 동영상보기 (36:29)
   b. 더 나아가서.. 동영상보기 (16:18)

02. 완비성공리
   a. 상계 동영상보기 (26:34)
   b. 완비성공리 동영상보기 (31:24)
   c. 유리수의 조밀성 동영상보기 (08:26)

03. 수열의 극한, I
   a. 최대하계와 완비성공리 동영상보기 (09:46)
   b. 집합의 합과 최소상계 동영상보기 (19:34)
   c. 수렴의 정의 동영상보기 (13:50)
   d. 수렴의 부정 동영상보기 (23:36)

04. 수열의 극한, II
   a. 극한의 성질 동영상보기 (27:50)
   b. 극한의 존재 동영상보기 (13:11)
   c. 양항급수의 수렴 동영상보기 (18:56)

05. 무한집합
   a. 상극한과 하극한 동영상보기 (24:33)
   b. 축소구간정리 동영상보기 (13:02)
   c. 무한집합 동영상보기 (20:34)
   d. 칸토르집합 동영상보기 (15:20)

06. 열린집합
   a. 벡터 동영상보기 (27:21)
   b. 열린집합 동영상보기 (26:45)
   c. 극한점 동영상보기 (16:42)

07. 닫힌집합과 유계집합
   a. 닫힌집합 동영상보기 (34:31)
   b. 열린집합과 전체집합 동영상보기 (10:36)
   c. 유계집합 동영상보기 (24:33)

08. 코시수열과 급수
   a. 부분수열과 상극한 동영상보기 (16:38)
   b. 코시수열 동영상보기 (19:34)
   c. 급수의 수렴 동영상보기 (22:24)
   d. 급수의 수렴판정 동영상보기 (09:50)

09. 급수의 수렴판정
   a. 연분수 동영상보기 (14:46)
   b. 비율판정법 동영상보기 (18:46)
   c. 판정법의 비교 동영상보기 (31:17)

10. 옹골집합
   a. 옹골집합의 정의 동영상보기 (14:27)
   b. 옹골집합의 예와 성질 동영상보기 (19:40)
   c. 옹골집합과 유계닫힌집합 동영상보기 (22:45)
   d. 옹골집합과 전체집합 동영상보기 (11:31)

11. 연결집합
   a. 옹골집합의 성질과 응용 동영상보기 (23:13)
   b. 구간의 성질 동영상보기 (17:47)
   c. 연결집합의 정의와 성질 동영상보기 (24:22)
   d. 함수의 극한과 연속 동영상보기 (08:54)

12. 연속함수
   a. 함수의 극한 동영상보기 (17:53)
   b. 함수의 연속 동영상보기 (22:02)
   c. 불연속함수의 예 동영상보기 (20:47)
   d. 함수의 상과 역상 동영상보기 (12:27)

13. 연속함수의 성질
   a. 유계닫힌구간과 연속함수 동영상보기 (13:57)
   b. 연속함수와 열린집합 동영상보기 (19:09)
   c. 최대최소정리와 중간값정리 동영상보기 (13:50)
   d. 두 정리의 응용 동영상보기 (21:10)

14. 고른연속함수
   a. 연속과 고른연속 동영상보기 (21:41)
   b. 옹골집합과 고른연속 동영상보기 (15:41)
   c. 고른연속함수의 확장 동영상보기 (25:29)

15. 단조함수
   a. 지금까지 공부한 내용 동영상보기 (17:47)
   b. 좌극한과 우극한 동영상보기 (13:28)
   c. 단조함수의 성질 동영상보기 (27:47)

16. 함수의 미분
   a. 미분계수의 의미 동영상보기 (25:57)
   b. 도함수의 연속성 동영상보기 (22:24)
   c. 미분계수의 계산 동영상보기 (11:00)
   d. 평균값 정리 동영상보기 (11:26)

17. 미분가능함수의 성질
   a. 평균값정리의 응용 동영상보기 (19:42)
   b. 도함수의 중간값정리 동영상보기 (21:41)
   c. 테일러정리 동영상보기 (09:19)

18. 테일러전개와 해석함수
   a. 테일러정리와 테일러 전개 동영상보기 (21:50)
   b. 해석함수 동영상보기 (22:20)
   c. 멱급수 표현의 응용 동영상보기 (11:29)
   d. 구분구적법 동영상보기 (11:53)

19. 적분의 정의
   a. 상적분과 하적분 동영상보기 (23:47)
   b. 적분의 정의 동영상보기 (13:23)
   c. 적뷴의 예 동영상보기 (14:12)
   d. 적분의 성질 동영상보기 (19:41)

20. 리만합과 적분
   a. 적분의 정의와 성질 동영상보기 (24:41)
   b. 적분가능함수 동영상보기 (08:47)
   c. 적분과 리만합의 극한 동영상보기 (32:46)
   d. 미적분학의 기본 정리: 적분의 미분 동영상보기 (07:27)

21. 유계변동함수
   a. 미적분학의 기본 정리: 미분의 적분 동영상보기 (16:37)
   b. 적분값의 계산 동영상보기 (11:39)
   c. 유계변동함수의 정의 동영상보기 (22:19)
   d. 유계변동함수와 단조함수 동영상보기 (21:48)

22. 리만-스틸체스 적분
   a. 벡터함수와 유계변동 동영상보기 (10:55)
   b. 곡선의 길이 동영상보기 (26:01)
   c. 리만-스틸체스적분의 정의 동영상보기 (13;39)
   d. 리만-스틸체스적분의 예 동영상보기 (14:37)

23. 유계변동함수와 스틸체스적분
   a. 스틸체스적분의 정의 동영상보기 (18:45)
   b. 리만-스틸체스합과 적분 동영상보기 (32:33)
   c. 리만-스틸체스 적분과 미분 동영상보기 (11:51)

24. 리만-스틸체스적분값의 계산
   a. 구분구적법과 리만 적분 동영상보기 (13:33)
   b. 부분적분법 동영상보기 (16:01)
   c. 적분과 선형범함수 동영상보기 (16:55)

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