(M1407.000.700)
해석개론 및 연습2 강의계획
(2018학년도 2학기)
♣ 해석학이란?
역사적으로 18세기가 지나서야 수학자들은 수학의 기초가 논리적으로 검증되고 엄밀하게 확증되어야 함을 느끼기 시작하였다. 그 이전 시대의 무분별한 직관의 사용과 형식주의에 대한 반작용으로 논리적 엄밀함을 추구하기 시작하였고 그 결과 함수의 개념, 극한, 연속성, 미분가능성, 적분가능성 등의 개념이 매우 신중하고 분명하게 정의되었으며 이것이 해석학의 기초가 되었다. 간략한 역사에 대해서는 아래를 참조하기 바랍니다.
♣ 강의내용
해석개론 및 연습2는 해석개론 및 연습1의 연속강좌로서 함수열, 여러 가지 함수공간, 적분으로 정의된 함수, 푸리에 급수, 르벡 적분을 공부한다.
♣ 강의교재(Text): 해석개론(제2개정판) (서울대학교 출판부; 김성기, 김도한, 계승혁 저, 2011)
♣ 참고도서:
1. T.M. Apostol, Mathematical Anaysis, 2/e, Addison-Wiesley, 1974
2. J.E. Marsden & M.J. Hoffman, Elementary Calssical Analysis, 2/e, Freeman, 1993
3. M.H. Protter & C.B. Murrey, A First Course in Real Analysis, Springer, 2/e, 1991
4. H.L. Royden, Real Analysis, 3/e, McGraw-Hill, 1987
5. W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3/e, McGraw-Hill, 1976
6. W. Rudin, Real and Complex Analysis, 3/e, McGraw-Hill, 1987
♣ 강의시간:
강좌번호 |
001 |
강의실 |
담당 |
강의시간 |
월/수 11:00 - 12:15 |
24-211 |
이우영 |
연습시간 |
월/수 17:00 - 18:50 |
25-105 |
박재휘 |
♣ 담당교수:
강좌번호 |
담당교수명 |
연구실 |
전자우편주소 |
Office Hour |
001 |
이우영 |
27-405 |
월/수 13:30-14:30 |
♣ 담당조교:
강좌번호 |
담당조교명 |
연구실 |
전자우편주소 |
Office Hour |
001 |
박재휘 |
27-430 |
nephenjia@snu.ac.kr |
월/화 16:00-17:00 |
박상준 |
27-221 |
psj5071@snu.ac.kr |
수/목 13:00-14:00 |
♣ eTL 운영: 강좌의 진행의 필요한 여러 가지 사항은 eTL (http://etl.snu.ac.kr)을 이용하여 공지합니다. (전화번호 등록 필수)
♣ 강의일정 및 내용
주 |
날자 |
강의내용 |
숙제 및 시험 |
1 |
9/3 (월), 9/5(수) |
§ 6.1 연속함수열, § 6.2 미분 및 적분가능 함수열 |
|
2 |
9/10(월), 9/12(수) |
§ 6.3 이중수열, § 6.4 거듭제곱급수, § 6.5 삼각급수 |
9/10: 과제 1 (§ 6.1, § 6.2) |
3 |
9/17(월), 9/19(수) |
§ 7.1 연속함수공간 |
9/17: 과제 2 (§ 6.3, § 6.4, § 6.5) |
4 |
9/24(월), 9/26(수) |
9/24-9/26 추석 |
|
5 |
10/1 (월), 10/3(수) |
§ 7.2 수열공간, § 7.3 특이적분 |
10/1: 과제 3 (§ 7.1), 10/3(월) 개천절 |
6 |
10/8(월), 10/10(수) |
§ 7.4 적분가능함수공간, 1차 중간시험(10/10) |
10/8: 과제 4 (§ 7.2, § 7.3) , 10/10: 1차 중간시험(6.1~7.3) |
7 |
10/15(월), 10/17(수) |
§ 8.1 적분으로 정의된 함수, § 8.2 감마함수 |
|
8 |
10/22(월), 10/24(수) |
§ 8.3 적분변환, § 9.1 푸리에 계수 |
10/22: 과제 5 (§ 7.4, § 8.1, § 8.2 ) |
9 |
10/29(월), 10/31(수) |
§ 9.2 푸리에급수의 점별수렴 |
10/29: 과제 6 (§ 8.3, § 9.1) |
10 |
11/5 (월), 11/7(수) |
§ 9.3 연속함수의 푸리에 급수 |
11/5: 과제 7 (§ 9.2) |
11 |
11/12(월), 11/14(수) |
§ 9.4 푸리에급수의 미분과 적분, 2차 중간시험(11/14) |
11/12: 과제 8 (§ 9.3) , 11/14; 2차 중간시험(7.4~9.3) |
12 |
11/19(월), 11/21(수) |
§ 9.4 푸리에급수의 미분과 적분(계속) |
|
13 |
11/26(월), 11/28(수) |
§ 10.1 잴 수 있는 집합과 측도, § 10.2 잴 수 있는 함수 |
11/26: 과제 9 (§ 9.4) |
14 |
12/3(월), 12/5 (수) |
§ 10.3 적분의 수렴정리 |
12/3: 과제 10 (§ 10.1, § 10.2) |
15 |
12/10(월), 12/12 (수) |
§ 10.4 르벡 적분과 푸리에 급수, § 10.5 함수공간 |
12/10: 과제 11 (§ 10.3) |
16 |
12/17(월) |
기말시험(12/17) |
12/17: 기말시험(9.4~10.5) 과제 12 (§ 10.4, § 10.5) |
♣ Assignments: 과제는
교재의 모든 문제와 연습문제를 푸는 것입니다. 과제는 총 12회로서
지정된 날의 강의 시작 전에 강의실 교탁에 제출합니다. 과제 성적은 총 성적에
10% 반영됩니다.
차수 |
제출날자 |
section |
대상 Text 문제번호 |
담당조교 |
1 |
9/10 (월) |
6.1, 6.2 |
6.1.1-6.1.5, 6.2.1-6.2.5, 6.6.1-6.6.8 |
박상준 |
2 |
9/17 (월) |
6.3, 6.4, 6.5 |
6.3.1-6.3.3, 6.4.1-6.4.7, 6.5.1-6.5.5, 6.6.9-6.6.17 |
박상준 |
3 |
10/1 (월) |
7.1 |
7.1.1-7.1.5, 7.5.1-7.5.7 |
박상준 |
4 |
10/8 (월) |
7.2, 7.3 |
7.2.1-7.2.5, 7.3.1-7.3.6, 7.5.8-7.5.10 |
박상준 |
5 |
10/22 (월) |
7.4, 8.1, 8.2 |
7.4.1-7.4.5, 7.5.11, 8.1.1-8.1.4, 8.2.1-8.2.6, 8.4.1-8.4.7 |
박상준 |
6 |
10/29 (월) |
8.3, 9.1 |
8.3.1-8.3.3, 8.4.8-8.4.11, 9.1.1-9.1.5, 9.5.1-9.5.4 |
박상준 |
7 |
11/5 (월) |
9.2 |
9.2.1-9.2.5, 9.5.5, 9.5.11 |
박상준 |
8 |
11/12 (월) |
9.3 |
9.3.1-9.3.5, 9.5.7-9.5.10, 9.5.12 |
박상준 |
9 |
11/26 (월) |
9.4 |
9.4.1-9.4.5, 9.5.6, 9.5.13-9.5.17 |
박상준 |
|
10 |
12/3 (월) |
10.1, 10.2 |
10.1.1-10.1.4, 10.2.1-10.2.7, 10.6.1-10.6.5 |
박상준 |
|
11 |
12/10 (월) |
10.3 |
10.3.1-10.3.7, 10.6.6-10.6.8 |
박상준 |
|
11 |
12/17 (월) |
10.4, 10.5 |
10.4.1-10.4.2, 10.5.1-10.5.4, 10.6.9-10.6.15 |
박상준 |
♣ 연습시간: 교재의 문제들과 연습문제에 관하여 질의응답으로 운영됩니다.
차수 |
연습시간 |
내용 |
연습장소 |
담당조교 |
1 |
9/3 (월) |
Introduction |
25-105 |
박재휘 |
2 |
9/10 (월) |
6.1, 6.2 (과제 1) |
25-105 |
박재휘 |
3 |
9/17 (월) |
6.3, 6.4, 6.5 (과제 2) |
25-105 |
박재휘 |
4 |
9/24 (월) |
추석 |
25-105 |
박재휘 |
5 |
10/1 (월) |
7.1 (과제 3) |
25-105 |
박재휘 |
6 |
10/8 (월) |
7.2, 7.3 (과제 4) |
25-105 |
박재휘 |
7 |
10/15 (월) |
7.4, 1차시험 풀이 |
25-105 |
박재휘 |
8 |
10/22 (월) |
8.1, 8.2 (과제 5) |
25-105 |
박재휘 |
9 |
10/29 (월) |
8.3, 9.1 (숙제 6) |
25-105 |
박재휘 |
|
10 |
11/5 (월) |
9.2 (과제 7) |
25-105 |
박재휘 |
|
11 |
11/12 (월) |
9.3 (과제 8) |
25-105 |
박재휘 |
|
12 |
11/19 (월) |
9.4, 2차시험풀이 |
25-105 |
박재휘 |
|
13 |
11/26 (월) |
9.4 (과제 9) |
25-105 |
박재휘 |
|
14 |
12/3 (월) |
10.1, 10.2 (과제 10) |
25-105 |
박재휘 |
15 |
12/10 (월) |
10.3 (과제 11) |
25-105 |
박재휘 |
16 |
12/17 (월) 정규수업시간 |
10.4, 10.5 (과제 121) |
24-211 |
박재휘 |
♣ 성적평가
번호 |
구분 |
시행일자/내용 |
Text 범위 |
비중 |
1 |
1차중간시험 |
10월 10일(수) 11:00-12:20 |
§ 6.1 ~ § 7.3 |
25% |
2 |
2차중간시험 |
11월 14일(수) 11:00-12:20 |
§ 7.4 ~ § 9.3 |
25% |
3 |
기말시험 |
12월 17일(월) 18:20-20:20 |
§ 9.4 ~ § 10.5 |
30% |
4 |
과제 |
12 회 |
|
10% |
5 |
출석 |
|
|
10% |
계 |
장소는 추후 eTL을 통해 공지합니다. |
|
100% |
|
TIME TABLE (2018 Calendar)
9월 |
||||||
일 |
월 |
화 |
수 |
목 |
금 |
토 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 과제 1 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 과제 2 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23/30 |
24 추석 |
25 |
26 대체휴일 |
27 |
28 |
29 |
10월 |
||||||
일 |
월 |
화 |
수 |
목 |
금 |
토 |
|
1 과제 3 |
2 |
3 개천절 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 과제 4 |
9 한글날 |
10 제1차시험 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 과제 5 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 과제 6 |
30 |
31 |
|
|
|
11월 |
||||||
일 |
월 |
화 |
수 |
목 |
금 |
토 |
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 과제 7 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 과제 8 |
13 |
14 제2차시험 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 과제 9 |
27 |
28 |
29 |
30 |
|
12월 |
||||||
일 |
월 |
화 |
수 |
목 |
금 |
토 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 과제 10 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
9 |
10 과제 11 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 기말시험 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
♣ 해석학의 간략한 역사
해석학이 수학에서 독립된 분야가 된 때는 대략 17세기 과학혁명의 시기라고 할 수 있다. 케플러, 갈릴레이, 데카르트, 페르마, 하위헌스, 뉴턴, 라이프니츠 등이 해석학의 탄생에 기여한 중요한 인물들이다. 당시 넓이, 부피, 무게중심의 계산 및 곡선에 대한 분석과 같은 수학적 문제와 더불어 역학, 광학, 천문학 등에서의 질문들이 해석학의 발전에 주요한 역할을 하였다. 갈릴레이의 자유낙하운동에 대한 연구가 성공을 거둔 이후 사람들은 곡선을 따라 운동하는 물체에 대하여 특별한 관심을 가지기 시작하였다. 이러한 광범위한 노력 끝에 17세기 말에 이르러 뉴턴과 라이프니츠에 의해 미분과 적분이라는 새로운 수학적 개념이 떠올랐으며, 그 이후로 무한소의 변화로부터 변화량 전체의 움직임에 대한 통찰을 얻기 위하여 미분방정식을 이용하려는 착상이 수학과 물리학을 넘어 과학 전반으로 급속히 퍼져나갔다.
18세기 말에 이르면 대부분의 과학자들은 자연의 과정이 결정론적이며, 미분방정식으로 표현되는 어떤 법칙을 따른다는데 동의하였다. 당시 대부분의 수학자들은 뉴턴과 라이프니츠에 의한 미적분학의 방대하고 놀랄만한 응용성에 매료되어 기초가 매우 불충분함에도 불구하고 수많은 논문을 양산하였다. 이에 대한 반성은 18세기 말에 이르러 나타나기 시작했고, 엄밀함을 세우기 위한 연구는 그 후 100년의 대부분을 차지할 만큼 어려운 일이었다. 달랑베르(1717-1783)는 만족스럽지 못한 상태의 해석학의 기초에 대한 실제적인 구제책을 처음으로 제시하였는데, 바로 극한 이론이 필요하다는 내용이었다. 그러나 이 이론은 1821년에 가서야 비로소 진정한 발달이 시작되었다. 미적분학을 엄밀하게 만들려는 실질적인 시도를 한 최초의 수학자는 라그랑주(1736-1813)였다. 비록 함수를 급수 전개로 표현하려는 시도는 실패하였으나, 그의 논문은 후대에 많은 영향을 끼쳤다. 1821년에 이르러 코시(1789-1857)가 적절한 극한 이론을 발전시켜서 연속, 미분가능, 정적분을 극한의 개념을 써서 정의함으로써 달랑베르의 제안을 실행에 옮겼다. 극한의 개념은 해석학의 발전에 필수불가결한 것이다. 코시의 엄밀함에 영향을 받아 다른 수학자들도 해석학에서 형식론과 직관론을 제거하려는 노력에 동참하였다.
1874년에 독일의 수학자 바이어슈트라스(1815-1897)가 실직선 상의 어떤 점에서도 미분가능하지 않은 연속함수가 존재한다는 예를 발견한 이후, 해석학의 기초에 대한 보다 더 깊은 이해가 필요하다는 요구가 나타났다. 리만(1826-1866)은 모든 유리수에서는 연속이지만 무리수에서는 불연속인 함수를 만들었다. 이로 인해 극한, 연속성, 미분가능성에 대한 이론은 그동안 상상했던 것보다 더 깊이 숨겨진 실수계의 성질에 의해 좌우된다는 사실이 분명해졌다. 바이어슈트라스는 먼저 실수계 자체를 엄밀하게 구성해야 하고, 그런 다음 해석학의 모든 기초 개념을 이 수체계로부터 유도해야 한다는 프로그램을 주창하였는데, 이를 오늘날 “해석학의 산술화”라고 부른다. 수학의 기본 개념을 정제시키는 이와 같은 작업은 복잡한 일반화에도 파급되어, 공간, 차원, 수렴성, 적분가능성과 같은 개념이 눈에 띄게 일반화되고 추상화되었다. 20세기의 수학의 많은 부분이 이런 종류의 일에 바쳐진 결과 일반화와 추상화가 오늘날의 수학의 두드러진 특징이 되었다.
- 출처: (1) 수학백과 - 대한수학회/네이버 (2) Howard Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Sounders College Publishing, 1990.
(3) E. Hairer and G. Wanner, Analysis by Its History, Springer, 2000. (4) H.N. Jahanke, A History of Aanlysis, AMS&LMS, 2003