합성함수 미분법 = 연쇄법칙

함수 y = f(x) 와 함수 z = g(y)를 합성한 함수 의 미분법은 다음과 같다:

물론, 위 식에서 g'(y) = g'(f(x)) 를 뜻하고, 두 함수 f(x), g(y) 가 모두 미분가능한 함수라는 것을 가정한다.  

함수 y = f(x) 의 팽창계수가 f'(x) 이고, 함수 z = g(y) 의 팽창계수가 g'(y) 이므로, 두 함수를 합성한 함수의 팽창계수가 g'(y) f'(x) 임은 기대하는 바와 같다.  

합성함수 미분공식은 다음과 같이 쓸 수 있다:

이와 같이 그 공식이 마치 사슬이 이어져 있는 것과 같다 하여 합성함수 미분법을 연쇄법칙(chain rule)이라고도 한다.

이제 합성함수 미분법을 증명하기 위하여 로 두자.  그러면 증명하여야 할 명제가

이다.  이 식을 증명하는 것은 다음을 증명하는 것을 뜻한다:

 

우선   >0 이라 하자.  그러면 f(x) 가 미분가능한 함수이므로,

이고, 마찬가지로

이다. 한편  가 아주 작으면 도 아주 작고, 그러므로

이다.  이제 로 두면 원하는 부등식을 얻는다.