학부 교과목 개요 1 페이지 > 서울대학교 수리과학부

이 과목은 이공계 학생들 중 수학 성취도가 높은 우수한 학생들을 대상으로 하며 <수학 1>의 고급, 심화과정이다. 주요 내용은 일변수 미적분학이며, 구체적으로는 실수의 성질, 급수, 거듭제곱급수, 지수함수, 로그함수, 삼각함수, 테일러 전개, 좌표계, 극좌표계, 벡터와 내적, 행렬과 행렬식, 선형사상, 벡터곱, 공간의 곡선과 속도, 가속도, 길이와 선적분, 곡률, 접촉평면 등의 내용을 증명, 심화 문제 등을 포함하여 심도 있게 배운다. 이 내용들은 <고급수학2>에서 다룰 다변수 미적분의 기초가 된다.

This is an advanced calculus course (of one-variable) for the excellent students who earned high scores in the Mathematics placement test and designed to investigate properties of real numbers, series, power series, exponential functions, logarithmic functions, trigonometric functions, Taylor expansions, coordinate systems, polar coordinates, vectors and inner product, matrices and determinants, linear transformations, vector products, curves and velocities, accelerations, lengths and line integrals, curvature, and osculating planes. These basic materials will be used in the multi-variable calculus course <Honor Calculus 2>.

2차원 곡면 위에서 거리, 각도, 넓이, 곡면의 흰 정도를 나타내는 곡률 등을 정의하기 위해서는 리만계량이라는 기하학적 구조가 필요하다. 이 교과목은 리만계량이 주어진 곡면에 대해 배운다. 곡면의 정의, 곡면 위에서 길이와 넓이, 곡면 위에서 정의된 함수의 미분과 벡터장, 곡률 등을 배우고 곡률이 곡면의 내재적 정보임을 알려주는 가우스 정리를 소개한다. 곡면 위 벡터장의 미분을 정의하기 위해 공변미분, 평행운송을 소개하고, 거리를 최소화하는 방향을 나타내는 측지선에 대해 배운다. 곡면의 기하학적 정보인 곡률의 총합과 곡면의 위상적 정보인 오일러 지표가 일치한다는 가우스-보네 정리를 소개한다.

To define distances, angles, areas, and curvature on a 2-dimensional surface, a geometric structure known as Riemannian metric is necessary. This course focuses on surfaces equipped with Riemannian metrics. It covers the definition of a surface, lengths and areas on a surface, the differentiation of functions and vector fields defined on a surface, and the curvature of a surface. The course introduces Gauss’s Theorema Egregium, which reveals that curvature is intrinsic information of a surface. It introduces the covariant derivative and parallel transport to define the differentiation of vector fields and also geodesics, representing directions that minimize distance. The course also covers the Gauss-Bonnet theorem, which states that the total curvature, a geometric information of a surface, agrees with Euler characteristic, a topological information of a surface.

행렬 연산의 기초를 배우고 이를 응용해 연립일차방정식을 풀어보는 것으로 시작하여, 선형대수학의 기본 개념을 학습하고 그 내용이 수학 및 인접 분야에 어떻게 응용되는지 알아본다. 세부 내용으로, CR분해와 선형독립, LU분해와 일차연립방정식, 영공간과 열 공간, 선형사상과 행렬식, 직교성과 QR분해, 고윳값과 고유벡터, 대각화, 특잇값 분해를 배운다. 시간이 남으면 유니타리 행렬, 스펙트랄 정리, 고속푸리에변환 등을 소개한다..

Starting with matrix arithmetic and its application to systems of linear equations, we learn fundamental notions in linear algebra. Also, we illustrate how linear algebra is applied  in  other  areas  of  mathematics  and  nearby  subjects.  Topics  include CR-decomposition and linear independence, LU-decomposition and systems of linear equations, null space and column space, linear transformation and determinant, orthogonality and QR-decomposition, eigenvalues and eigenvectors, diagonalization, and singular value decomposition. If time permits, we cover unitary matrix, spectral theorem, and fast Fourier transforms.

이 과목은 이공계열 신입생을 위한 기초 교양수학과목으로, 주된 내용은 미적분학이다. 고등학교 교육과정에서 다루는 함수의 극한, 삼각함수, 지수함수, 로그함수 등을 포함한 여러 함수의 미분법과 그 응용, 정적분과 부정적분의 계산법과 그 응용 등에 익숙한 학생을 수강대상으로 한다. 첫 번째 구체적인 목표는 테일러 정리를 포함하는 기본적인 거듭제곱급수 이론 및 특정한 함수의 거듭제곱급수 표현에 대한 이해이다. 함수의 거듭제곱급수 표현을 이용하면 함수 값을 임의로 정밀하게 계산할 수 있기 때문에 이 기법은 이론적인 측면에서 뿐만 아니라 실용적인 측면에서도 매우 중요한 역할을 한다. 두 번째 목표로는 평면과 공간의 여러 가지 좌표계, 벡터, 행렬, 행렬식, 선형사상, 곡선 등에 대한 이해이다. 이 개념들은 공간을 이해하는 데 꼭 필요한 내용으로, 그 자체로서도 매우 유용할 뿐만 아니라 연계과목 <수학 2>에서 주로 다루게 될 다변수함수 미적분의 기초가 된다.

This course serves as a basic mathematics course focusing primarily on calculus for students in science and engineering. This course is aimed at  students familiar with limits of functions, differentiation of various functions including trigonometric, exponential, logarithmic functions, (in)definite integrals and their applications. The first detailed goal is to understand basic power series theory including Taylor’s theorem and power series representation of certain functions. Power series representation allows us to compute values of functions with an arbitrary precision, so that this technique plays an important role both practically and theoretically. Secondly, we would like to understand various coordinate systems, vectors, matrices, determinants, and curves. These concepts are essential for comprehension of spaces, so that they are very useful by themselves as well as fundamental to several variable calculus, which is the main focus in the follow-up course, <Calculus 2>.

이 교과목의 목적은 수리과학을 전공하는 학생들에게 수학적 엄밀성을 기반으로 물리학의 근간을 이루는 고전역학, 전자기학, 양자역학, 열역학 및 통계역학을 소개하는 것이다. 이를 통해, 앞으로 선택하게 될 수학의 세부 전공분야에서 등장하는 물리학적인 요소에 대한 전반적인 통찰을 얻고 연구의 기반 동력으로 활용할 수 있도록 한다.

 Based on mathematical rigor, this course aims to introduce students majoring in mathematical science to the fundamentals of physics, including classical mechanics, electromagnetism, quantum mechanics, thermodynamics, and statistical mechanics. Through this, you can gain an overall insight into the physical elements that emerge in the detailed majors of mathematics that you will choose in the future and use them as a driving force for your research.

(격년 교과목)

위상수학의 호몰로지와 선형대수를 근간으로 하는 조합론적 호지 이론을 주요 내용으로 한다. 이에 기반한 응용으로서 조합론의 위상수학적 연구 방법, 고차원 네트워크 이론, 그리고 수학적 데이터 분석을 배운다. 이를 위해 응용수학의 중요한 도구로서 조합론적 라플라스 작용소를 소개하고 이로부터 얻어지는 조화계와 고차원 유효저항의 이해와 네트워크와 데이터 분석에의 응용을 주요 목표로 한다.  

Combinatorial Hodge theory, which is based on homology theory in topology and linear algebra, will be the main content. As applications, we will cover topological methods in combinatorial mathematics, high-dimensional simplicial network theory, and mathematical data analysis. To this end, we will introduce combinatorial Laplace operators as an important tool for applied topology, and the mail goal is to understand the harmonic cycles and the simplicial effective resistance obtained from these operators and their applications in networks and data analysis. 

정수론 분야 입문 강좌로 학부생 저학년을 대상으로 한다. 기초 산수와 실수의 대소관계 등 제한적 도구를 활용하여, 수론 현상의 표본이 되는 산술의 기본정리와 상호법칙에 대해 배운다. 정수의 사칙연산을 이용해 나머지류의 사칙연산을 구성한다. 나머지류에서의 일차방정식, 연립일차방정식을 다룬다. 나머지류에서의 일변수 다항방정식을 소개하고, 이차잉여 및 상호법칙에 대해 배운다. 시간이 남으면 나머지류의 일반화와 유한체를 배우고, 고차 상호법칙을 살펴본다. 본 강좌를 성공적으로 이수한 경우 보다 용이하게 현대대수학1, 선형대수학 등의 과목을 이수할 수 있다.

This course introduces number theory to the lower-division undergraduates. Students will use basic arithmetic and comparison of real numbers to learn the fundamental theorem of arithmetic and the reciprocity law, which are proto-typical arithmetic phenomena.We construct the arithmetic operations on residue classes using those on integers. We solve linear equations one and several variables in residue classes. We introduce polynomial equations in one variable in residue classes. Quadratic residues and the quadratic reciprocity law are covered. If time permits, generalized residue classes and finite fields will be introduced and higher reciprocity laws will be covered. Successful students will be better prepared to complete other courses such as Modern Algebra 1 and Linear Algebra.

완비성 공리를 비롯한 실수체의 기본 성질과 수열의 극한, 상극한과 하극한, 좌표공간의 초보적인 위상적 성질, 코시 수열, 컴팩트 집합과 연결 집합, 함수의 극한과 연속의 엄밀한 정의 및 성질, 고른 연속함수, 단조함수의 성질, 함수열의 고른 수렴, 일변수 함수열의 미분과 적분, 멱급수와 해석함수, 삼각급수, 바이어쉬트라스 점근 정리, 아르젤라-아스콜리 정리, 수열공간 등을 공부한다.

Basic properties of real number field including completeness axiom, limits of sequences, elementary topological properties of coordinate spaces, Cauchy sequences, compact and connected sets, precise definitions of limit and continuity, uniformly continuous functions, properties of monotone functions, uniform convergence of sequence of functions, differentiation and integration of sequence of functions with one variable, power series and analytic functions, trigonometric series, Weierstrass approximation theorem, Arzela-Ascoli theorem, space of sequences are studied.

연속함수 및 미분가능한 함수열의 극한, 함수열의 고른 수렴, Arzela-Ascoli 정리, Weierstrass 정리, 멱급수, 해석함수, 삼각급수, Fourier 급수 등을 배운다.

Sequence of continuous and differentiable functions, uniform convergence, Arzela-Ascoli theorem, Weierstrass theorem, power series, analytic functions, trigonometric series, Fourier series are studied.