수리과학부 소개
1946년 서울대학교의 창립과 함께 문리과대학 수학과가 설립되었고, 1975년 관악으로 캠퍼스를 이전하며 문리과대학 수학과와 공과대학 응용수학과가 자연과학대학 수학과로 통합되고 계산통계학과가 분리되었다. 1999년부터 현재의 자연과학대학 수리과학부로 명칭이 변경되었다.
수리과학부는 대수학, 해석학, 기하/위상수학, 응용수학 등 현대수학의 중심 분야에 관한 교육과 연구를 목표로 하고 있다. 이에 학부 및 대학원과정의 전공교육, 타 분야 학생들을 위한 기초 및 교양교육을 수행하고 있으며, BK21+ 수리과학사업단, 선도연구센터 및 수학연구소 등을 중심으로 활발한 연구 활동을 하고 있다. 현재 수리과학부에는 37 명의 전임교수, 200 여명의 대학원생 및 200여명의 학부생, 40여명의 연구원이 소속되어 있다.
수리과학부는 학생들의 학습과 연구활동 지원을 위하여 학부생과 대학원생에게 다양한 장학금 지원을 노력하고 있다. 졸업생들은 국내외 대학원 진학(학부과정 졸업생), 학계(대학원 과정 졸업생), 연구소, 기업체, 교육기관 등 다양한 분야로 진출하고 있다. 급변하는 기술의 발전을 뒷받침하고 이론적 근본의 발전에 기여할 수 있는 수학적 지식과 사고를 갖춘 인재에 대한 수요 는 늘어나고 있으며, 수리과학부 졸업생들의 진로 는 더욱 다양해질 것이라 전망하고 있다.
대수학
대수학은 수학의 근본적인 구조를 연구하는 분야로, 대칭성을 관찰하여 복잡한 구조를 단순화 시키거나 적절한 분류 방식을 제공하여 가능한 모든 상황을 효율적으로 이해하는 것을 목표로 한다. 현대의 추상대수학은 주어진 대상이 가진 대칭성을 연산을 통해 관찰하는 군론 및 체론을 시작으로 발전해 왔으며 현재의 대수학은 연구 방식 및 대상에 따라 대수기하학, 정수론, 표현론, 조합론 등으로 나뉜다.
대수학의 분야들은 수학 내외의 다른 여러 분야 들과의 상호작용 속에서 발정하고 있다. 조합론은 수학 전반에 등장하는 이산적인 구조와 특성을 연구하며 정수론은 수학적 구조 안에서 등장하는 여러 수들의 산술적 성질을 연구한다. 대수 기하학에서은 유리 함수로 표현되는 대칭 변환과 다항 방정식으로 정의되는 기하학적 구조를 연구하여 수론과 기하학을 연결하는 중요한 다리 역할을 한다. 표현론은 조합론, 수론 등의 여러 대수핫 분야 및 기하학, 물리학 등에서 관찰되는 대칭적인 특성을 벡터 공간 안에 투영하여 연구하는 분야이다. 이 외에도 대수적 연산 구조와 방정식의 해를 다루는 환론과 체론, 대수기하학 및 정수론의 언어체계를 제공하는 가환 대수 등이 대수학의 한 분야로서 활발하게 연구되고 있다.
대수학은 현대 과학과 기술에도 깊은 영향을 미친다. 암호학에서는 정수론을 기반으로 한 보안 시스템이 개발되었으며, 컴퓨터 과학에서는 알고리즘 설계와 복잡도 이론에서 대수적 기법이 활용된다. 양자 정보학에서는 군론이 양자 연산 및 양자 컴퓨팅의 이론적 기초를 제공하며, 대수기하학과 표현론은 이론물리에서 중요한 개념으로 자리 잡고 있다. 이처럼 대수학은 순수한 이론 연구뿐만 아니라, 다양한 수학 분야 및 과학과의 접점을 통해 발전하고 있다. 대칭성과 연산 구조를 탐구하는 과정에서 수많은 개념이 탄생하였으며, 이는 수학과 과학 전반에 걸쳐 필수적인 역할을 한다.
Algebra is a branch of mathematics that studies fundamental structures and operations, having developed around the concepts of symmetry and classification. Group theory is a prominent example of a theory that investigates symmetry, which plays a crucial role throughout mathematics by defining invariants and systematically classifying various mathematical objects.
Algebra is divided into several subfields based on its objects of study and methods of approach. Combinatorics explores discrete structures and properties, while number theory investigates the arithmetic properties of numbers. Algebraic geometry is concerned with cases where symmetry transformations can be expressed as rational functions, studying geometric structures defined by polynomial equations. As such, it is a key bridge between number theory and geometry. Representation theory examines groups and algebras by expressing them as linear transformations on vector spaces, providing a powerful tool for analyzing symmetry and group actions. It is widely applied in various fields, including physics, combinatorics, and number theory, to understand underlying symmetry structures. Ring theory and field theory focus on algebraic operations and solutions to equations, with commutative algebra being closely linked to algebraic geometry and number theory. In field theory, Galois theory allows for the analysis of solutions to equations and their symmetry structures.
Algebra has also had a profound impact on modern science and technology. In cryptography, number theory has led to the development of secure systems, while in computer science, algebraic techniques are employed in algorithm design and complexity theory. Furthermore, in quantum information science, group theory provides the theoretical foundation for quantum operations and computing, while algebraic geometry and representation theory have become essential concepts in theoretical physics.
Thus, algebra continues to evolve not only as a field of purely theoretical research but also through its intersections with various branches of mathematics and science. The exploration of symmetry and algebraic structures has given rise to numerous fundamental concepts, which play an indispensable role across mathematics and the sciences.
연구분야
대수기하학 / Algebraic Geometry
정수론 / Number Theory
조합론 / Combinatorics
표현론 / Representation Theory
해석학
해석학은 극한, 연속성, 수열, 급수, 함수, 미적분과 같은 개념을 중심으로 수학적 구조를 연구하는 분야이다. 이는 자연현상을 정밀하게 기술하는 토대를 제공하며, 수학 전반에서 필수적인 역할을 한다. 해석학은 다루는 함수의 특성과 연구 방법에 따라 조화해석학, 함수해석학, 복소해석학, 편미분방정식, 확률론 등으로 나뉜다.
해석학은 함수의 성질과 그 변화에 대한 정밀한 분석을 수행하는 학문으로, 함수 공간과 변환 이론을 비롯하여 미분과 적분의 일반화에 초점을 둔다. 조화해석학은 푸리에 해석을 기반으로, 함수와 그 변환 사이의 관계를 분석하는 데 중점을 둔다. 특히, 조화 해석학에서는 직교 함수들의 전개, 특이적분 이론, 스펙트럼 해석과 같은 개념이 중요한 역할을 한다. 함수해석학은 바나흐 공간과 힐베르트 공간을 포함하는 무한 차원 공간에서의 연산을 다루며, 연산자의 스펙트럼 이론과 같은 심화된 개념을 탐구한다. 복소해석학은 복소수 평면에서 정의된 정칙 함수의 성질을 연구하며, 해석적 연속성의 개념이 중요한 역할을 한다. 편미분방정식은 함수의 변화율을 설명하는 방정식을 연구하며, 해의 존재성과 유일성을 분석하는 데 중심을 둔다. 확률론은 해석학의 중요한 응용 분야 중 하나로, 불확실성을 수학적으로 탐구하는 이론을 제공한다. 특히 20세기에 들어서면서 측도론을 바탕으로 확률론이 공리적으로 정립되었으며, 이로 인해 확률 과정과 확률 미적분이 발전하게 되었다. 확률론은 물리계의 무작위성뿐만 아니라, 금융, 데이터 과학 및 최적화 문제에서도 중요한 역할을 하며, 해석학적 기법을 활용하여 더욱 정교한 이론으로 발전하고 있다.
해석학은 순수한 이론적 연구뿐만 아니라, 수학과 과학 전반에서 필수적인 역할을 하며 현대 기술과의 접점에서도 지속적으로 확장되고 있다.
Analysis is a branch of mathematics that studies mathematical structures based on concepts such as limits, continuity, sequences, series, functions, and calculus. It provides the foundation for precisely describing natural phenomena and plays an essential role throughout mathematics. Depending on the characteristics of the functions studied and the research methods employed, analysis is divided into various subfields, including harmonic analysis, functional analysis, complex analysis, partial differential equations, and probability theory.
Analysis is a discipline that conducts a detailed examination of the properties of functions and their variations, focusing on function spaces, transformation theory, and the generalization of differentiation and integration. Harmonic analysis, based on Fourier analysis, emphasizes understanding the relationships between functions and their transformations. Key concepts in this field include the expansion of orthogonal functions, singular integral theory, and spectral analysis. Functional analysis deals with operations in infinite-dimensional spaces, such as Banach spaces and Hilbert spaces, and explores advanced concepts such as the spectral theory of operators. Complex analysis studies the properties of holomorphic functions defined on the complex plane, where the notion of analytic continuation plays a crucial role. Partial differential equations (PDEs) investigate equations that describe the rates of change in functions, focusing on the existence and uniqueness of solutions. Probability theory is a significant applied field of analysis that provides a mathematical framework for studying uncertainty. In the 20th century, probability theory was rigorously axiomatized through measure theory, leading to the development of stochastic processes and stochastic calculus. Beyond describing randomness in physical systems, probability theory plays an essential role in finance, data science, and optimization, where analytical techniques have refined it into a more sophisticated theoretical framework.
Analysis is not only a field of pure theoretical research but also an indispensable component of mathematics and science. Furthermore, its influence continues to expand into modern technology, demonstrating its broad applicability across disciplines.
연구분야
복소해석학 / Complex Analysis
조화해석학 / Harmonic Analysis
편미분방정식 / Partial Differential Equations
함수해석학 / Functional Analysis
확률론 / Probability Theory
기하학/위상수학
기하학과 위상수학은 공간의 본질을 이해하려는 인간의 오랜 탐구에서 비롯된 수학의 두 주요 분야로, 서로 다른 관점과 도구를 통해 상호 보완적으로 발전해왔다. 기하학은 고대 이집트와 그리스 시대에 길이, 면적, 부피를 측정해야 하는 실용적 필요에서 시작하여, 공간의 형태, 속성, 변환을 연구하는 학문으로 발전했다. 반면 위상수학은 연결성이나 구멍의 개수처럼 연속적인 변형에도 변하지 않는 공간의 성질을 탐구한다. 현대에 이르러 두 학문은 2차원과 3차원을 넘어 더 높은 차원의 추상적 공간을 다양체라는 언어로 이해하는 데 초점을 맞추고 있다
이러한 연구를 수행하기 위해 대수학, 해석학 등 다양한 수학적 도구와 언어가 활용된다. 예를 들어, 대수적 도구를 통해 공간이 가지는 불변량을 분석하거나, 공간의 대칭성을 연구하여 그 구조를 이해할 수 있다. 또한, 공간에 정의된 함수를 기반으로 동역학계를 연구함으로써 공간의 성질을 탐구할 수도 있다. 리만기하학, 복소기하학, 사교기하학, 쌍곡기하학 등에서 다루는 다양한 기하학적 구조와 이를 모아놓은 모듈라이 공간을 통해 공간의 속성을 체계적으로 분석하는 방법도 존재한다.
기하학과 위상수학은 각기 다른 접근법과 관점을 사용하지만, 공간의 본질적인 성질을 이해하려는 동일한 목표를 공유한다. 이러한 연구는 물리학, 데이터 과학, 컴퓨터 그래픽스, 머신러닝, 로봇공학, 의료 영상 처리 등 현대 과학과 기술의 다양한 분야에서 광범위하게 응용된다. 예를 들어, 일반 상대성이론은 다양체와 리만 기하학의 언어를 바탕으로 이론적 틀을 제공하며, 데이터 과학에서는 위상수학적 방법을 활용해 복잡한 데이터 구조를 분석하고 해석하는 데 중요한 통찰을 제공한다
Geometry and Topology are two major fields of mathematics that stem from humanity's long-standing quest to understand the nature of space. These disciplines have evolved complementarily through different perspectives and tools. Geometry originated in ancient Egypt and Greece, driven by the practical need to measure length, area, and volume, and it has developed into a discipline that studies the shapes, properties, and transformations of space. In contrast, topology investigates the properties of space, such as connectivity and the number of holes, which remain unchanged under continuous deformations. In modern times, both fields focus on understanding higher-dimensional abstract spaces beyond two and three dimensions using the language of manifolds.
To conduct such research, a variety of mathematical tools and languages, including algebra and analysis, are utilized. For example, algebraic tools can be used to understand invariants of space, or symmetry of space can be used to study the spaces. Furthermore, the properties of space can be explored by studying dynamical systems based on functions defined on that space. Various geometric structures—such as the ones from Riemannian geometry, complex geometry, symplectic geometry, and hyperbolic geometry—and their collective study in terms of moduli spaces also provide ways to analyze spaces.
Geometry and topology, while employing distinct methodologies and perspectives, share the common goal of understanding the intrinsic nature of space. This research finds broad applications in modern science and technology, including physics, data science, computer graphics, machine learning, robotics, and medical imaging. For instance, general relativity is founded on the theoretical framework provided by manifolds and Riemannian geometry, while in data science, topological methods offer critical insights for analyzing and interpreting complex data structures.
연구분야
기하위상수학 / Geometric Topology
대수적위상수학 / Algebraic Topology
동역학 / Dynamics
물리수학 / Physical Mathematics
복소기하학 / Complex Geometry
사교기하학 / Symplectic Geometry
응용수학
응용수학은 현실의 문제를 해결하기 위해 수학적 기법과 이론을 실제로 적용하는 데 중점을 두는 수학의 한 분야이다. 순수수학이 이론적이고 추상적인 개념을 탐구하는 반면, 응용수학은 수학적 모델링, 계산 방법 및 정량적 분석을 강조한다. 이는 수치해석학, 산업수학, 암호수학, 금융수학, 수리적 알고리즘, 머신러닝 등 다양한 영역을 포함하며, 여러 산업 및 학문 분야에서 필수적인 역할을 수행한다.
응용수학은 공학, 물리학, 금융, 생물학 및 컴퓨터 과학 등 다양한 분야에서 광범위하게 활용된다. 공학에서는 구조 설계, 역학적 분석 및 시스템 최적화에 필수적이며, 금융에서는 위험 평가, 포트폴리오 최적화 및 복잡한 금융 상품의 가격 책정을 위한 알고리즘 개발에 사용된다. 자연과학에서는 유체역학, 인구 성장, 화학 반응과 같은 복잡한 현상을 모델링하는 데 기여한다. 또한, 기계학습과 인공지능의 핵심적인 알고리즘에는 확률적 방법이 포함되어 있으며, 이는 데이터에서 패턴을 추출하고 예측 모델을 구축하는 데 필수적이다.
기술 분야에서도 데이터 분석, 머신러닝 및 인공지능 알고리즘의 개발을 지원하며, 데이터 중심 사회에서 그 중요성이 점차 커지고 있다. 특히, 불확실성이 존재하는 환경에서 최적의 결정을 내리기 위해 최적화 기법이 확률론과 함께 활용된다. 현대의 수많은 도전 과제는 복잡한 시스템을 이해하고 최적화하는 능력과 직결된다. 응용수학은 이러한 문제를 해결하는 데 핵심적인 도구를 제공하며, 혁신을 촉진하고 생산성을 향상시키는 데 기여한다. 수학적 기법을 통해 정량적 데이터를 분석하고 이를 기반으로 최적의 결정을 내릴 수 있도록 함으로써, 응용수학은 현대 사회에서 필수적인 학문으로 자리 잡고 있다.
Applied mathematics is a branch of mathematics that focuses on the practical application of mathematical techniques and theories to solve real-world problems. While pure mathematics explores theoretical and abstract concepts, applied mathematics emphasizes mathematical modeling, computational methods, and quantitative analysis. This field encompasses various areas, including numerical analysis, industrial mathematics, cryptography, financial mathematics, mathematical algorithms, and machine learning, playing a crucial role across multiple industries and academic disciplines.
Applied mathematics is widely utilized in engineering, physics, finance, biology, and computer science. In engineering, it is essential for structural design, mechanical analysis, and system optimization. In finance, it is used for risk assessment, portfolio optimization, and the development of algorithms for pricing complex financial products. In the natural sciences, applied mathematics contributes to the modeling of complex phenomena such as fluid dynamics, population growth, and chemical reactions. Additionally, probabilistic methods are integral to machine learning and artificial intelligence, enabling pattern extraction and predictive modeling.
Applied mathematics also supports the development of data analysis, machine learning, and artificial intelligence algorithms, becoming increasingly important in today's data-driven world. In particular, optimization techniques and probability theory are often employed together to make optimal decisions in uncertain environments. Many modern challenges are closely tied to understanding and optimizing complex systems, and applied mathematics provides essential tools for tackling these problems. Applied mathematics has become an indispensable discipline in contemporary society by leveraging mathematical techniques to analyze quantitative data and make informed decisions.
연구분야
금융수학 / Financial Mathematics
머신러닝 / Machine Learning
산업수학 / Industrial Mathematics
수리적 알고리즘 / Mathematical Algorithm
수치해석학 / Numerical Analysis
암호수학 / Mathematical Cryptology