석박사과정 일반 대수학 지식을 전달을 목적으로 하는 대수학1-3 중 첫 번째 과목이다.
수학 전분야에서 자연스럽게 등장하는 군, 환, 체의 대수적 개념을 심화하여 학습하고, 이를 일변수다항방정식의 풀이와 근의 구조의 이해에 적용한다. 군론에서는 사물의 대칭과 변환을 기술해주는 군의 기본적 성질, 건설, 및 분류를 다루며, 구체적으로는 동형정리, 가해군 등의 일반군론, 실로우부분군, 대칭군 등 유한군론과, 자유가환군과 가환군의 구조정리 등 가환군론을 다룬다. 또한 기초 범주론, 쌍대군, 역극한, 함자, 자유군 등을 다룬다. 환론에서는 정수, 함수, 다항식 등 여러 범주에서 정의되는 사칙연산의 기본적인 성질들을 일반화 하고, 하위 주제로 환, 가군, 아이디얼, 중국인의 나머지 정리, 대수, 다항식환 등을 다룬다. 가환환 관련 주아이이얼역, 유일분해, 가우스 보조정리, 기약 판별법, 국소화, 뇌터환, 힐베르트 기저 정리를 다룬다. 체론에서는 확장체의 성질과 단위거듭제곱근, 노름과 자취, 순환 확장체, 가해 확장체 등을 다루고, 궁극적으로 일변수다항방정식의 근의 군론적 구조를 수 체계의 확장과 연결시켜주는 갈루아 이론을 다룬다.
This is the first in a series of three courses in Algebra, aimed at delivering general knowledge in algebra for graduate students.
The first course is an in-depth study of the algebraic concepts of groups, rings, and fields, which naturally arise across various mathematical disciplines. These concepts are then applied to the solution of univariate polynomial equations and understanding the structure of their roots.
In group theory, fundamental properties, constructions, and classifications of groups describing symmetry and transformations are covered. Topics include general group theory (isomorphism theorems, solvable groups, etc.), finite group theory (Sylow subgroups, symmetric groups, etc.), and abelian groups (free abelian groups, structure of finitely generated abelian groups, etc.). Additionally, basic category theory, dual groups, inverse limits, and free groups are addressed. In ring theory, basic properties of arithmetic operations defined in various settings such as integers, functions, and polynomials are generalized. Subtopics include rings, modules, ideals, the Chinese Remainder Theorem, algebras, and polynomial rings. Relevant topics in commutative algebra such as principal ideal domains, unique factorization, Gauss's Lemma, irreducibility criteria, localization, Noetherian rings, and Hilbert's Basis Theorem are also covered. Field theory encompasses properties of extension fields, roots of unity, norms and traces, cyclic extensions, and radical extensions. Galois theory is introduced to connect the group-theoretic structure of roots of univariate polynomials with field extensions in a systematic way.
