석박사과정 일반 대수학 지식을 전달을 목적으로 하는 대수학1-3 중 세 번째 과목이다. 특히, 이 교과목에서는 환과 가군을 심화하여 학습한다. 대주제로 준단순성, 유한군의 선형표현, 호몰로지대수를 다룬다. 준단순성 관련하여 밀도정리, 제이콥슨근, 균형가군, 모리타 정리 등을 배운다. 유한군의 표현이론은 역사적으로 유한군의 분류에 중요한 역할을 하였고, 현대 표현론의 기초를 이룬다. 또한 유한군대수는 준단순성 대수론의 중요한 예제이기도 하다. 유한군의 선형표현과 관련하여 군대수, 마스케 정리, 특성, 직교성, 전도표현, 매키 정리, 아틴 정리, 브라우어 정리를 학습한다. 한편, 일반적으로 준단순성이 성립하지 않는 환의 가군이론에는 호몰로지라는 개념이 필연적으로 발생하는데, 이 과목에서는 호몰로지대수 관련하여, 정열, 뱀 보조정리, 복함체, 아벨범주, 장정열, 복합체변형, 사상뿔, 델타-함자, 유도함자, 토션함자를 다룬다.
This is the third in a series of three courses in Algebra, aimed at delivering general knowledge in algebra for graduate students.
The third course delves deeper into rings and modules. Major topics covered include semisimplicity, representation theory of finite groups, and homological algebra.
Regarding semisimplicity, students learn about density theorems, Jacobson radicals, balanced modules, and Morita theory. The theory of linear representations of finite groups has historically played a crucial role in the classification of finite groups and forms the basis of modern representation theory. Additionally, group algebras of finite groups serve as important examples in the theory of semisimplicity. In the context of representations of finite groups, students study group algebras, Maschke's theorem, characters, orthogonality, induced representations, Mackey theory, Artin's theorem, and Brauer's theorem. In the theory of modules over general rings that are not semisimple, the concept of homology inevitably arises. In this course, topics in homological algebra such as resolutions, snake lemma, complexes, abelian categories, exact sequences, transformations of complexes, mapping cones, delta-functors, derived functors, and torsion functors are covered.
