대학원 교과목 개요 1 페이지 > 서울대학교 수리과학부

기계학습의 수학적이론(Machine Leaning Theory)
학점 구분 : 주당    교과목 번호 :M1407.002700    학점 : 3    이론 : 3    실습 : 0    학년 : 0    성적부여방법 : A~F

이 과목은 기계 학습 알고리즘의 수학적 이론을 이해하고 이를 통해 더 나은 기계 학습 방법을 설계하는 데 초점을 맞춘다. PAC 학습, VC 차원, Rademacher 복잡도, 커널 방법과 RKHS, 경사 하강법, 뉴턴 방법, 확률적 경사 하강법, 경사 하강의 연속 시간 모델 등을 다룬다.

This course focuses on understanding the mathematical theory behind machine learning algorithms and aims to use mathematical reasoning to design better machine learning methods. The topics include reproducing kernel Hilbert spaces and kernel methods, gradient descent, Rademacher complexity, Newton's method, stochastic gradient descent, and continuous-time models of gradient descent.
대수적위상수학 1(Algebraic Topology 1)
학점 구분 : 주당    교과목 번호 :3341.607    학점 : 3    이론 : 3    실습 : 0    학년 : 0    성적부여방법 : A~F

기본군과 피복공간, 호모토피 이론, 호몰로지 이론 등 대수적 위상수학의 기초적인 내용을 다룬다.

This course covers basic topics from algebraic topology including the theory of fundamental group, covering space, and homotopy theories.
대수학 1(Algebra 1)
학점 구분 : 주당    교과목 번호 :3341.501    학점 : 3    이론 : 3    실습 : 0    학년 : 0    성적부여방법 : A~F

석박사과정 일반 대수학 지식을 전달을 목적으로 하는 대수학1-3 중 첫 번째 과목이다.
수학 전분야에서 자연스럽게 등장하는 군, 환, 체의 대수적 개념을 심화하여 학습하고, 이를 일변수다항방정식의 풀이와 근의 구조의 이해에 적용한다. 군론에서는 사물의 대칭과 변환을 기술해주는 군의 기본적 성질, 건설, 및 분류를 다루며, 구체적으로는 동형정리, 가해군 등의 일반군론, 실로우부분군, 대칭군 등 유한군론과, 자유가환군과 가환군의 구조정리 등 가환군론을 다룬다. 또한 기초 범주론, 쌍대군, 역극한, 함자, 자유군 등을 다룬다. 환론에서는 정수, 함수, 다항식 등 여러 범주에서 정의되는 사칙연산의 기본적인 성질들을 일반화 하고, 하위 주제로 환, 가군, 아이디얼, 중국인의 나머지 정리, 대수, 다항식환 등을 다룬다. 가환환 관련 주아이이얼역, 유일분해, 가우스 보조정리, 기약 판별법, 국소화, 뇌터환, 힐베르트 기저 정리를 다룬다. 체론에서는 확장체의 성질과 단위거듭제곱근, 노름과 자취, 순환 확장체, 가해 확장체 등을 다루고, 궁극적으로 일변수다항방정식의 근의 군론적 구조를 수 체계의 확장과 연결시켜주는 갈루아 이론을 다룬다.

This is the first in a series of three courses in Algebra, aimed at delivering general knowledge in algebra for graduate students.
 The first course is an in-depth study of the algebraic concepts of groups, rings, and fields, which naturally arise across various mathematical disciplines. These concepts are then applied to the solution of univariate polynomial equations and understanding the structure of their roots.
In group theory, fundamental properties, constructions, and classifications of groups describing symmetry and transformations are covered. Topics include general group theory (isomorphism theorems, solvable groups, etc.), finite group theory (Sylow subgroups, symmetric groups, etc.), and abelian groups (free abelian groups, structure of finitely generated abelian groups, etc.). Additionally, basic category theory, dual groups, inverse limits, and free groups are addressed. In ring theory, basic properties of arithmetic operations defined in various settings such as integers, functions, and polynomials are generalized. Subtopics include rings, modules, ideals, the Chinese Remainder Theorem, algebras, and polynomial rings. Relevant topics in commutative algebra such as principal ideal domains, unique factorization, Gauss's Lemma, irreducibility criteria, localization, Noetherian rings, and Hilbert's Basis Theorem are also covered. Field theory encompasses properties of extension fields, roots of unity, norms and traces, cyclic extensions, and radical extensions. Galois theory is introduced to connect the group-theoretic structure of roots of univariate polynomials with field extensions in a systematic way.
대수학 2(Algebra 2)
학점 구분 : 주당    교과목 번호 :3341.502    학점 : 3    이론 : 3    실습 : 0    학년 : 0    성적부여방법 : A~F

석박사과정 일반 대수학 지식을 전달을 목적으로 하는 대수학1-3 중 두 번째 과목이다.

선형대수학의 확장인 가군을 다루고, 대수방정식 이론의 기초를 소개한다. 전반부에서는 기초범주론, 가군이론, 텐서곱을 배운다. 기초범주론 내용으로 요네다 보조정리와 극한의 개념을 학습한다. 가군은 벡터공간의 연산 등 선형대수학의 기술을 보다 폭넓은 분야에서 적용할 수 있게 해주는 개념이며, 한편으로는 환의 작용을 통한 환론의 심화 연구에 필수적이다. 이 과목에서는 가군이론을 복습한 후 자유가군, 사영가군, 단사가군, 단사싸개 등의 개념을 학습한다. 주아이디얼역의 가군 및 구조정리에 대에 대해 학습한다. 텐서곱의 정의, 평가군, 대수의 텐서곱, 텐서대수, 대칭대수, 외대수 등을 학습한다. 두번째 대주제인 대수방정식 이론에서는, 다항방정식을 현대적으로 해석하여 유한생성 대수의 기본 산술이론을 다루고, 가환대수와 대수기하의 토대를 다진다. 구체적으로 정수확장, 초월기저, 영점정리, 소거, 결과식 등을 학습한다.

This is the second in a series of three courses in Algebra, aimed at delivering general knowledge in algebra for graduate students. The second course deals with the extension of linear algebra into the realm of modules, as well as the foundations of the general theory of algebraic equations.

 In the first main part, basic category theory, module theory, and tensor products are covered. Within category theory, students learn about the Yoneda Lemma and the concept of limits. Modules extend the techniques of linear algebra, such as operations on vector spaces, to a broader realm of applications. Moreover, they are essential for a deeper study in ring theory through the actions of rings. In this course, after reviewing module theory, concepts such as free modules, projective modules, injective modules, and injective envelopes are covered. Students learn about the structure theory of modules over principal ideal domains. Tensor products, flat modules, tensor products of algebras, tensor algebras, symmetric algebras, and exterior algebras are studied. The second main part of the course, algebraic equation theory, interprets polynomial equations in a modern context, covering the basic arithmetic theory of finitely generated algebras and laying the foundations for commutative algebra and algebraic geometry. Specifically, topics such as integral extensions, transcendence bases, the Hilbert Nullstellensatz, elimination theory, and resultants are covered.
미분다양체론(Differentiable Manifolds)
학점 구분 : 주당    교과목 번호 :3341.505    학점 : 3    이론 : 3    실습 : 0    학년 : 0    성적부여방법 : A~F

매끄러운 다양체(또는 미분가능다양체)는 현대적인 관점에서 기하학적 공간의 개념을 기술하는 기본적인 언어를 제공한다. 이 강의는 매끄러운 다양체 위에서 미적분학의 기본 언어를 배우는 것을 목표로 한다. 다양체 위의 매끄러운 사상, 매장된 부분다양체, 미분형식, 벡터다발, 일반화된 스토크스 정리 등에 대해 논의한다.

Differentiable manifolds provide a fundamental language for describing the concept of a space from a modern perspective. In this course, we will learn the basic language of differential and integral calculus on manifolds. We will discuss smooth maps of manifolds, embedded submanifolds, differential forms, vector bundles and the generalized Stokes’ theorem.
해석학1 (실해석학 대체)(Analysis 1)
학점 구분 : 주당    교과목 번호 :M1407.002000    학점 : 3    이론 : 3    실습 : 0    학년 : 0    성적부여방법 : A~F

Euclid 공간의 측도론과 Lebesgue 적분, 곱측도와 Fubini 정리, Fourier 변환, 복소측도와 Radon-Nykodim 정리 및 Lebesgue 분해, 위상공간의 축도와 Riesz 표현정리 등을 공부한다.

This course discusses such topics as Lebesgue measure and integration of Euclidean space, product measure and the Fubini theorem, complex measure and the Radon-Nykodim theorem, Lebesgue decomposition, measure of topological spaces and the Riesz representation theorem.
해석학2 (복소해석학대체)( Analysis 2)
학점 구분 : 주당    교과목 번호 :M1407.002100    학점 : 3    이론 : 3    실습 : 0    학년 : 0    성적부여방법 : A~F

본 수업의 내용은 크게 두 부분으로 이루어져 있으며, 첫 부분에서는 해석학 1의 개념 복습과 함께, weak convergence, distribution theory와 같이, 해석학 전 분야에서 광범위하게 사용되는 함수해석학의 기초를 집중적으로 학습한다. 두 번째 부분에서는 Cauchy 정리, Taylor 및 Laurent 급수, Schwarz 보조정리를 포함하는 복소해석학의 기본 이론을 학습하고, open mapping theorem, conformal mapping, Riemann mapping theorem, Harmonic functions and rational function approximation과 같은 복소해석학의 핵심 정리들을 학습한다. 실, 복소 해석학의 핵심적인 개념들이 등장하게 된 역사적 배경과, 여러 해석학 분야에의 주요한 응용, 그리고 이러한 개념들의 유기적인 관계를 학습하여 깊은 이 ㅠ한 이해와 다양한 응용 가능성에 대한 안내를 통하여 함수해석학, 조화해석학, 편미분방정식, 확률과정, 복소함수론과 같은 해석학 분야 세부전공은 물론 미분기하학, 위상수학 등의 분야를 본격적으로 공부하기 위한 맥락과 바탕 지식을 마련해줄 것이다.

In the first half, reviews graduate Analysis 1 and then proceed to the study of central concepts in analysis including weak convergence and distribution theory. The next half gives a review of basic theories of complex analysis including Cauchy-integral formula, convergence of power series, Taylor and Laurent series, residue theorem and its applications, and Schwarz lemma, and then proceed to topics in complex analysis including open mapping theorem, conformal mapping, Riemann mapping theorem, Harmonic functions and rational function approximation.
In this course, a set of review notes will be provided and four homework assignments will be given to students. During the lectures, emphasis will be given to historical contexts in which each central topic in analysis was developed and its key applications. Furthermore, relations between various concepts will be discussed in detail, which would not only motivate students to study further but also facilitates deep understanding of those. The material of this course will prepare students to study various topics in analysis including, but not limited to, functional analysis, harmonic analysis, partial differential equations, stochastic process, complex function theory. It will be also serve as a helpful basis for certain topics in topology, geometry, and analysis.
현대 계산수학(Modern Computational Mathematics)
학점 구분 : 주당    교과목 번호 :M1407.002400    학점 : 3    이론 : 3    실습 : 0    학년 : 0    성적부여방법 : A~F

이 교과목은 현대 계산수학 이론을 중점적으로 다루며 확률론적, 비확률론적 계산 방법을 학습함을 목표로 한다. Fundamental Arithmetics, Euclidean Algorithm, Modular Algorithms, Fast Multiplication, Topological Data Analysis, Principles of Monte Carlo, Markov Chain Monte Carlo, Variance Reduction Techniques, Importance Sampling 등의 주제를 다룬다.

This course focuses on understanding the modern computational mathematics theory and covers stochastic and non-stochastic numerical methods. The topics include Fundamental Arithmetics, Euclidean Algorithm, Modular Algorithms, Fast Multiplication, Topological Data Analysis, Principles of Monte Carlo, Markov Chain Monte Carlo, Variance Reduction Techniques and Importance Sampling.
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