실해석

실해석
김성기, 계승혁 저
서울대학교출판부, 1999, pp.299+ix
정오표 (2006년 6월)

뉴턴과 라이프니츠에 의하여 시작된 미적분학은 자연현상뿐 아니라 사회현상을 분석하고 설명할 때 필수불가결한 도구가 되었다. 근대 유럽을 거치면서 인류는 미적분학을 보다 정교하게 다듬고 이를 통하여 훨씬 다양한함수를 다룰 수 있게 되었으며, 19 세기 말에 이르러 그 논리적인 토대를 튼튼히 할 수 있었다. 이러한 미적분학은 20 세기에 들어와 커다란 방향전환을 하게 되었는데, 그 결과가 측도론과 함수해석의 등장이다. 이 책에서는 고전적인 측도론과 초보적인 함수해석을이해하고, 이를 삼각급수에 응용하려 한다.

먼저 실직선 위에서 르벡측도를 정의하고 이를 바탕으로 르벡적분을 정의한다. 이 적분의 최대 장점은 함수값이 양수인 경우 거의 제한없이 적분이 정의된다는 점이다. 제 1 장에서 르벡적분의 기본적인 성질을 공부하고, 제 2 장에서는 미적분학의 기본정리를 르벡적분의 입장에서 이해한다. 20 세기 해석학의 가장 큰 변화는 함수 자체의 성질을 넘어서서 함수들을 모아 놓은 벡터공간에 대하여 체계적인 연구가 시작되었다는 점이다. 이러한 벡터공간 중에서 가장 중요하고도 초보적인 $L^p$-공간을 제 3 장에서 공부하고, 해석개론이나 고등미적분에서 배우게 마련인 연속함수공간과 비교한다. 또한, 지금까지 공부한 실직선의 측도가 가지는 핵심 성질을 공리화하여 추상적인 측도와 적분을 공부하는데,지금까지 공부한 내용의 핵심을 추리는 과정이다.

이미 고등미적분이나 다변수해석학에서 배웠겠지만, 적분론에서 가장 중요한 부분 중 하나는 이중적분을 정의하는 일과 이를 반복적분으로 계산할 수 있다는 푸비니 정리이다. 제 4 장에서 이를 측도론의 입장에서 공부하는데, 이중적분을 정의한다는 것은 두 측도의 곱을 정의하는 것과 마찬가지이다. 이는 측도론에서 매우 까다로운 부분 중 하나인데, 여기서는 추상측도의 곱측도를 먼저 정의하고 이를 르벡측도의 곱에 적용하여 이변수함수의 적분을 공부한다. 이러한 과정은 삼각급수를 공부할 때 나오는 콘볼류션을 정의하고 그 대수적인 성질들을 규명하는 데에 필수적이다. 제 5 장에서는 지금까지 공부한 여러 가지 함수공간을 염두에 두고 푸리에급수와 푸리에적분을 보다 이론적인 측면에서 체계적으로 공부한다.

제 6 장에서 함수공간을 비롯한 여러 가지 노음공간을 다루는 기본적인 방법론을 공부하는데, 그 핵심은 쌍대공간이다. 노음공간이나 그 사이에 정의된 유계선형사상은 선형대수에서 배우는 벡터공간 및 선형사상과 다를 바 없지만, 여기서는 무한차원 벡터공간들을 염두에 둔다. 특히, 유한차원 벡터공간과 선형사상에 대하여 당연한 결과들이무한차원 노음공간에서 어떻게 전개되는지 살펴보게 된다. 선형대수에서 공부하는 내적공간 역시 유한차원이란 가정을 넘어서 일반적인 경우를 다루는데, 이러한 내적공간은 본질적으로 $\ell^2$-수열공간임을 알게 된다. 이러한 결과들은 푸리에급수나 푸리에변환에 그대로 적용되어 여러 가지 결과들을 얻게 되는데, 추상적인 함수공간 이론을 전개하게 된 기본 동기 중 하나가 푸리에해석이고 보면 이는 당연한 귀결이다.

다시 측도론으로 돌아와 제 7 장에서 본격적인 추상측도론을 다루는데, 이는 이 책의 핵심부분이다. 지금까지 측도는 적분을 정의하기 위한 도구에 불과하였으나 이제는 함수공간을 확장하기 위한 대상이 된다. 이를 위하여 그 값이 양수뿐 아니라 음수 혹은복소수값을 가지는 측도를 공부한다. 복소함수를 양함수의 선형결합으로 표시하듯이 복소측도역시 지금까지 공부한 양측도의 선형결합으로 표시하고, 복소측도들을 모아 놓은 벡터공간은 자연스레 측도공간이 된다. 이 측도공간과 함수공간 사이의 관계를 규명하는 것이 르벡 분해와 라돈-니코딤 정리이다. 이로써 지금까지 알고 있던 함수공간은 측도공간의 일부분이고, 함수는 측도의 특별한 경우임을 알게 된다. 제 8 장에서는 측도와 위상 사이에 어떠한 관련이 있는지 살펴본다. 측도가 정의되는 집합이 처음부터 위상공간이면 이 측도는 연속함수공간의 선형범함수를 정의하여 주는데, 역으로 연속함수공간에서 정의된모든 선형범함수가 본질적으로 측도임을 말하는 리쓰 표현정리는 8 장의 핵심이다. 라돈-니코딤 정리와 리쓰 표현정리를 이용하면 실직선의 보렐측도를 모두 분류할 수 있고 이는 사실 리만-스틸체스적분의 또 다른 표현임을 알게 된다.

측도가 함수보다 훨씬 일반적인 대상이므로 주기함수의 푸리에급수를 주기측도에 확장하는 것은 자연스러운 방향이다. 이를 푸리에-스틸체스변환이라 부르는데, 제 9 장에서 공부한다. 이를 이용하면 고전적인 해석학에서 다룰 수 있었던 것보다 훨씬 다양한 삼각급수를 이해할 수 있다. 고전적인 관점에서 보면삼각급수의 극한은 함수이어야 하겠지만 이제는 그 극한을 측도로 이해하게 되는데, 측도가 연속함수공간의 선형범함수라는 사실이 중요하게 쓰인다. 미분가능함수공간의 선형범함수를생각하면 측도보다 더 큰 대상을 얻을 수 있는데, 이에 대해서도 푸리에변환을 확장하여 푸리에-쉬와르츠변환을 얻는다. 여기서는 가장 간단한 경우에 한하여 다루는데, 이를 이용하여 그 계수가 유계수열인 모든 삼각급수, 심지어는 그 계수가 증가수열인 삼각급수의 극한도 해석할 수 있게 된다. 끝으로, 이러한 선형범함수의 극한에 관한 초보적인 함수해석 이론을 간단하게 소개하는 것으로 이 책을 끝낸다. 차례 다음에 붙어 있는 그림은 각 장의 관련성을 대강 나타내고 있다.

이 책을 공부하려는 이는 해석개론이나 고등미적분에서 배우는 내용을 미리 알고 있어야 하는데, 구체적으로 참고문헌 [해석개론]의 1 장 - 7 장은 필수적이다. 푸리에급수에 관한 내용은 논리적인 측면에서 보면 필요없지만 충분한 계산 경험을요한다. 실해석에 관한 이론은 충분히 확립되어 있고 교재도 많이 나와 있지만 푸리에해석까지 체계적으로 다룬 교재는 그리 많지 않다. 이 책의 내용 중에서 측도론에 관한 부분은 참고문헌[Royden, Real Analysis] 와 [Rudin, Real and Complex Analysis] 를 그 기본 참고문헌으로 삼았고, [Folland, Real Analysis] 도 주요 참고도서이다. 푸리에해석에 관한 참고문헌은 너무 많아서 일일이 거론하기가 번거로울 정도이다.

지난 일 년간 서울대학교 수학과에서 개설한 실변수함수론을 수강한 학생들은 잘못된 곳이 너무 많은 이 책의 초고로 공부하면서 틀린 곳을 지적하여 주고 건설적인 제안을 하여 주었는데, 특히 마지막 교정까지 보아준 이동욱, 이종규 군을 비롯한 이들 수강생들에게 고마움을 표한다. 또한, 처음 구상 단계에서부터 자잘한 문제에 이르기까지 필자들의 귀찮은 자문에 흔쾌히 응해 주신 여러 동료 교수들께 감사드린다.

1999 년 1 월

제 1 장 르벡적분
1.1. 잴수있는 집합과 측도
1.2. 잴수있는 함수와 적분
1.3. 적분의 수렴정리
1.4. 리만적분과 르벡적분
1.5. 연습문제

제 2 장 미분과 르벡적분
2.1. 단조함수의 미분과 적분의 미분
2.2. 절대연속함수의 미분과 적분
2.3. 연습문제

제 3 장 적분가능함수공간
3.1. $L^p$-공간
3.2. 잴수있는 함수와 연속함수
3.3. 양측도와 적분
3.4. 연습문제

제 4 장 이중적분
4.1. 곱측도
4.2. 푸비니 정리
4.3. 적분가능함수의 곱하기
4.4. 연습문제

제 5 장 푸리에변환
5.1. 푸리에급수
5.2. 푸리에적분
5.3. 연습문제

제 6 장 노음공간
6.1. 쌍대공간
6.2. 바나하공간의 선형사상
6.3. 힐버트공간
6.4. 연습문제

제 7 장 복소측도
7.1. 부호측도와 복소측도
7.2. 라돈-니코딤 정리와 르벡 분해정리
7.3. 실직선의 보렐측도
7.4. 연습문제

제 8 장 위상과 측도
8.1. 국소옹골공간
8.2. 리쓰 표현정리
8.3. 연속함수와 보렐측도
8.4. 연습문제

제 9 장 삼각급수
9.1. 푸리에-스틸체스변환
9.2. 푸리에-쉬와르츠변환
9.3. 약위상
9.4. 연습문제

참고문헌