해석개론
김성기, 김도한, 계승혁 저
서울대학교출판부, 1995, pp.329
[개정판, 2002]
[제2개정판, 2011]

근대 이후 자연현상을 설명하는 새로운 도구로 인정받은 미적분은, 이제자연과학이나 공학뿐 아니라 사회과학 등 학문 전반에 걸쳐서 필수적인 방법론으로 여겨지게 되었는데, 미적분의 기본 원리는 "극한"이다. 미적분이 도입된 이후 이를 응용하여 수많은 함수들이 연구되고 여러가지 계산 방법 등이 알려지게 되었으나, 점차 다양한함수들을 연구하게 됨에 따라 보다 엄밀한 극한의 정의가 필요하게 되었다. 미적분의 기본 원리인 극한이 엄밀하게 정의되고 연구된 것은 19 세기 이후의 일로서, 이 때부터 극한을 기하학적 직관에 의존하지 않고 산술적인 엄밀한 방법으로 정의하고 연구하게 되었는데, 이를 공부하는 것이 이 책의 기본 목적이다.

이미 고등학교에서 수열이나 함수의 극한, 미적분 등을 공부할 때, 여러 가지 중요한 정리들, 이를테면 극한을 계산할 때 필요한 공식들, 사이값정리나 최대최소정리 등을 "증명"하지 않고 직관에 호소하는 데에 불만을 느낀 학생이 있을 것이다. 또한 지수함수를 정의하거나, 자연로그의 밑을 정의하는 과정에도 많은 문제점이 있음을 느꼈을 것이다. 이 책의 첫째 목표는 극한의 개념을 엄밀하게 "정의"하고, 이러한 기본정리들을 증명하는 것이다. 이렇게 극한을 정의하는 방법은 해석학뿐 아니라 수학 전반에 큰 영향을 미쳐서, 금세기 이후 수학의 여러 명제들을 기술하는 기본 형태가 되었다. 이러한 기본 개념들을 바탕으로, 거듭제곱급수와 삼각급수로 표현되는 여러 가지 함수들의 성질을 공부하는 것이 이 책의 두번째 목표이다.

우리가 사이값정리를 증명하려고 해보면 그 정리 자체가 실수의 성질과 밀접하게 연관되어 있음을 알게 되는데, 이는 여러 가지 극한을 정의하는 데에도 마찬가지이다. 따라서, 극한의 성질을 공부하기에 앞서서 우선 실수란 무엇인가 하는 것부터 밝힐 필요가 있다. 수학적 대상을 규명하는 데에는 크게 두 가지 방법이 있는데, 그 첫째는 그 대상이 "무엇"인지 밝히는 것이다. 그러나, 이 일이 쉽지 않음을 바로 알 수 있는데, 예를 들어서, 개수를 세는 "하나", "둘", "셋" 등 자연수가 그 자체로서 무엇인지 규명하는 것은 쉬운 일이 아니다. 그러나, 잠시 생각하여 보면, 자연수 자체를 하나하나 설명하지 않더라도, 자연수들 사이의 "상호관계"를 규명하면 충분하다는 것을 알 수 있다. 우리는 실수를 도입하는 데에도 이러한 방법을 쓰려 한다. 따라서, 실수 상호간의 연산법칙, 순서관계, 완비성공리 등은 자명한 것으로 받아들이기로 한다. 이러한 상호관계들을 만족하는 실체가 과연 존재하는가, 존재한다면 유일한가 하는 문제가 해결된다면, 실수를 규명하는 데에 아무런 문제가 없을 것이다. 이는 해석개론의 문제라기 보다는 집합론의 문제인데, 이 책에서는 부록에서 간단히 다루었다.

이 책에서 공부하려는 주 대상은 함수, 특히 실수 사이에 정의된 일변수함수이다. 그러나, 함수의 극한이나 연속성을 논하는 데 굳이 일변수함수만 따로 다룰 필요가 없으므로, 우선 다변수함수의 정의역이나 치역(이 책에서는 함수 $f:X\to Y$ 가 있을 때, 집합 $\{{f(x)\in Y:x\in X\}$ 나 $Y$ 를 모두 치역이라 부르기로 한다.)역할을 하는 유클리드공간의 성질을 공부한다. 유클리드공간의 여러가지 성질 중에서도, 특히 두 점 사이에 정의되는 "거리"로부터 얻어지는 성질들을 집중적으로 살펴보고, 이를 이용하여 연속함수들의 성질을 공부하려 한다. 특히, 이미 알고 있는 사이값정리나 최대최소정리 등은 다변수함수에 어떻게 적용되는지 살펴보게 된다.

극한과 연속함수의 기본 성질을 공부한 후에, 4 장부터는 일변수함수의 미적분에 초점을 맞추었다. 대학 일학년에서 미적분을 착실하게 공부한 학생이면, 이 책의 4 장은 가볍게 읽을 수 있을 것이다. 리만적분은 우선 상적분과 하적분을 이용하여 정의한 후에, 리만합으로 정의되는 리만적분과 마찬가지임을 보였다. 또한, 유계변동함수의 성질을 간단히 공부하고, 이를 이용하여 리만-스틸체스 적분을 다루었다. 극한의 성질을 공부하는 데 가장 중요한 것은 두 개 이상의 극한이 나오는 경우 그 순서를 바꿀 수 있는가 하는 점인데, 바로 이러한 문제야말로 극한의 엄밀한 정의가 요구되는 이유이다. 이는 6 장에서 공부하는데, 이 책 전체를 통하여 가장 중요한 부분이다. 여기서 정립한 일반 원칙을 거듭제곱급수에 적용하기 위하여 상극한과 하극한을 공부하고, 아울러 수열의 일반적인 성질들을 다루었다. 이와 더불어, 연속함수공간이나 여러 가지 수열공간들을 도입하고, 앞에서 공부한 유클리드공간의 성질들과 비교하였다.

푸리에급수를 공부하기 위하여, 르벡적분과 적분가능함수공간을 도입하는 것이 여러모로 편리한데, 이를 8 장에서 다루었다. 르벡적분을 공부함으로써 여러 가지 수렴정리를 쉽게 얻을 수 있고, 적분과 미분의 순서를 바꾸는 문제를 보다 일반적인 함수에서 정립할 수 있다. 이는 감마함수 등 적분으로 정의되는 함수를 공부하는 데 유용하게 쓰인다. 르벡적분을 공부하는 또하나의 이유는, 적분가능함수공간을 완비공간으로 이해할 수 있다는 점이다. 이를 이용하여 집합론적 의미의 "함수"의 개념을 보다 넓게 해석할 수 있다. 푸리에급수를 통하여 주기함수와 수열, 혹은 급수를 대응시킬 수 있고, 이러한 대응과정을 거쳐서 함수의 개념이 크게 확장되는데, 이에 관한 체계적인 공부는 이 책의 범위를 넘는다. 이 책에서는 푸리에급수에 관한 고전적인 계산 및 그 응용과 함께, 여러 가지 함수공간과 수열공간을 대비하여 봄으로써, 우리가 다루는 함수의 범위가 어떻게 확장되어 왔는지 살펴보게 된다.

이 책으로 공부하는 분들께

이 책을 공부하기 위하여 먼저 공부해야 하는 부분은 없다. 논리적인 측면에서만 본다면 어린이도 이 책으로 공부할 수 있다. 그러나, 실제로 이 책에서 사용하는 논리의 전개를 충분히 이해하고, 여러가지 예들을 직접 적용하려면 상당한 사전지식이 필요하다. 구체적으로, 고등학교에서 배운 미적분이나, 대학 일학년 때 배우게 마련인 미적분 등을 공부한 학생이면 큰 무리없이 이 책을 볼 수 있을 것이다. 이 책을 쓰면서 많은 부분을 독자들의 몫으로 남겨 놓았다. "각자 확인하여 보기 바란다", "쉽게 확인할 수 있다", "직접 계산하여 보면", "나머지도 이와 같은 방법으로" 등의 문구가 있는 경우에는 반드시 각자 연필을 들고 실제로 써보기 바란다. 연습문제 중 그래프 그리는 문제는 콤퓨터를 이용하여 직접 해보기 바란다.

이 책으로 가르치는 분들께

이 책은 서울대학교 수학과에서 2 학년 학생들을 대상으로 개설하는 해석개론의 교재로 사용하기 위하여 쓴 것이다. 현재 서울대학교 수학과에는 다변수해석학이 별도로 개설되어 있기 때문에, 이 부분은 전혀 넣지 않았다.그 대신, 다른 교재보다 푸리에급수를 강조하였으며, 이를 위하여 르벡적분을 포함시켰다. 사실 리만적분을 비롯한 여러가지 극한의 정의나 칸토르의 집합론이 도입된 배경이 푸리에급수이고 보면, 이를 강조하는 것은 오히려 자연스러운 느낌이다.

일년 동안 고등미적분이나 고급해석학을 가르치면서 다변수함수까지 다루어야 하는 경우에는, 여러 가지 함수공간 (6.2 절, 7.3 절) 과 8 장 이후를 생략하면 된다. 또한, 6.2 절, 7.3 절, 르벡적분을 생략해도 미분과 적분의 순서를 바꾸는 정리 (9.1 절) 를 간단한 경우에 한하여 설명하면 감마함수(9.2 절) 나 푸리에급수의 기본개념 (10.1 절, 10.2 절) 을 가르치는 데 큰 지장은 없을 것이다. 차례 뒤에 붙어 있는 표를 보면 각 절 사이의 개략적인 흐름이나 상관관계를 알 수 있다.

고마운 분들께

이 책은 그 동안 저자들이 강의했던 경험을 토대로 한 것이기 때문에, 우선 해석개론을 수강했던 학생들에게 감사의 뜻을 표해야 할 것이다. 특히, 1994년에 해석개론을 수강한 수학과 학생들은, 이 책의 초고를 통하여 공부하면서 많은 질문과 제안을 하여 주었는데, 일일이 여기에 적을 수 없는 점이 유감이다. 또한 이 책을 쓰는 동안 귀찮고도 자질구레한 여러 가지 자문에 흔쾌히 응해 주신 동료 교수들께 감사드린다. 지난 학기에 해석개론 조교를 담당했던 정경훈 군은 연습문제에 대한 여러 가지 제안을 하였을 뿐 아니라 마지막 교정을 보아줌으로써, 이 책이 완성되는 데 크게 공헌하였다. 이 책의 부록에 실려 있는 "수의 체계"는 작고하신 김정수 교수가 1976년 강의에서 사용하기 위하여 손수 쓰신 것을 토대로 정리한 것이다. 새삼스레 고인께 감사드린다.

이 책은 "한글 텍"으로 작성하였는데, 초고는 전남대학의 백정선 교수가 만든 조합형으로, 마지막 조판은 과학기술원의 고기형 교수 연구진이 만든 완성형으로 만들었다. 이러한 소프트웨어들을 자유롭게 쓸 수 있도록 허락하여 주신 두 분께 감사드린다. 끝으로, 표지에 사용한 글자들을 쓸 수 있도록 하여 준 서울대학의 최형인 교수께 감사드린다.

제 1 장 실수의 성질과 수열의 극한
1.1. 실수의 연산과 순서
1.2. 완비성공리
1.3. 수열의 극한
1.4. 단조수열
연습문제

제 2 유클리드공간의 위상적 성질
2.1. 벡터공간
2.2. 열린집합과 닫힌집합
2.3. 유계집합과 코시수열
2.4. 옹골집합
2.5. 연결집합
2.6. 셀수있는 집합
연습문제

제 3 장 연속함수의 성질
3.1. 함수의 극한과 연속성의 정의
3.2. 최대최소정리
3.3. 사이값정리
3.4. 고른연속함수
3.5. 단조함수
연습문제

제 4 장 미분가능함수의 성질
4.1. 미분가능성
4.2. 평균값정리
4.3. 테일러 전개
연습문제

제 5 장 리만-스틸체스 적분
5.1. 리만적분
5.2. 리만적분가능함수
5.3. 미적분의 기본정리
5.4. 유계변동함수
5.5. 스틸체스적분
연습문제

제 6 장 함수열
6.1. 연속함수열
6.2. 연속함수공간
6.3. 미분 및 적분가능함수열
연습문제

제 7 장 함수항급수
7.1. 상극한과 하극한
7.2. 급수의 수렴판정
7.3. 수열공간
7.4. 거듭제곱급수
7.5. 삼각급수
연습문제

제 8 장 르벡적분
8.1. 잴수있는 집합과 측도
8.2. 잴수있는 함수와 적분의 정의
8.3. 적분의 수렴정리
8.4. 적분가능함수공간
연습문제

제 9 장 적분으로 정의된 함수
9.1. 연속성과 미분
9.2. 감마함수
9.3. 적분변환
연습문제

제 10 장 푸리에급수
10.1. 푸리에계수
10.2. 푸리에급수의 점별수렴
10.3. $L^2$-함수의 푸리에급수
10.4. 푸리에급수의 계산
10.5. 여러가지 함수공간의 푸리에급수
연습문제

부록 수의 체계

참고문헌